Questão 10. Uma reta r passa pelo ponto A=(1,5,6) e tem a direção do vetor \vec{v}=(0,2,0).
(a) Encontre a equação vetorial da reta r.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta r.
(c) Encontre as equações simétricas da reta r, caso exista.
(d) Encontre as equações reduzidas da reta r, caso exista.

Passo 1

O enunciado pede uma reta r\subset\mathbb R^3 que passa por A=(1,5,6) e tem direção dada por \vec v=(0,2,0).
Conteúdo: representações de reta em espaço – forma vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.

Passo 2

Forma vetorial: toda reta pode ser escrita como
\mathbf r(t)=\mathbf a+t\,\mathbf v,
onde \mathbf a é um ponto da reta e \mathbf v é o vetor direção. Aqui \mathbf a=(1,5,6) e \mathbf v=(0,2,0), logo
\mathbf r(t)=(1,5,6)+t\,(0,2,0).

Passo 3

Equações paramétricas: da forma
x= x_0 + v_x\,t,\quad y=y_0+v_y\,t,\quad z=z_0+v_z\,t.
Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(1,5,6) e (v_x,v_y,v_z)=(0,2,0), obtemos
x=1,\quad y=5+2t,\quad z=6.

Passo 4

Equações simétricas: normalmente isolamos t em cada coordenada e igualamos, i.e.
\frac{x-1}{0}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-6}{0}.
Mas não podemos dividir por zero. Como v_x=0 e v_z=0, não existe forma simétrica válida para esta reta.

Passo 5

Equações reduzidas: é um caso especial em que algumas coordenadas ficam constantes. Aqui vemos pelas paramétricas que
x=1,\quad z=6,
e só y varia segundo y=5+2t. Logo, as equações reduzidas (isto é, isolando as variáveis constantes) são
x=1,\quad z=6,
com y livre.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf r(t)=(1,5,6)+t\,(0,2,0).
(b) \displaystyle x=1,\;y=5+2t,\;z=6.
(c) Não existe forma simétrica válida (divisão por zero em x e z).
(d) \displaystyle x=1,\;z=6 (com y variando livremente).

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