QUESTÃO 118

O nível sonoro, em decibel (dB), é calculado pela expressão:
n=10 \log _{10}\left(\frac{I}{I_{0}}\right)
Uma conversa normal entre duas pessoas gera sons de níveis sonoros entre 50 e 60 dB , enquanto pessoas gritando podem gerar sons de níveis superiores a 100 dB . Supondo que, no centro de um estádio de futebol, foram realizadas medidas para avaliar o ruído médio de uma pessoa gritando a palavra “gol” em diferentes posições das arquibancadas. O valor médio obtido, considerando um grande número de medidas, foi de 100 dB . Com esse dado, estimou-se o ruído sonoro produzido por 10000 pessoas, distribuídas aleatoriamente nas arquibancadas, enquanto gritavam, simultaneamente, a palavra “gol”.
O valor médio estimado para o ruído produzido por essas pessoas, na posição central desse estádio hipotético, foi de
(A) 60 dB .
(B) 104 dB .
(C) 140 dB .
(D 400 dB .

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do nível sonoro em decibel:
n=10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right).
As informações relevantes são:
  • O nível médio medido para uma pessoa gritando é n_1=100\\ \text{dB}.
  • N=10000 pessoas gritando simultaneamente e distribuídas de forma que, para a posição central, cada contribuição pode ser tratada como intensidade somada.
  • A pergunta: qual é o nível médio estimado (em dB) produzido pelas 10000 pessoas na posição central do estádio? (Escolhas dadas: 60\\ \text{dB}, 104\\ \text{dB}, 140\\ \text{dB}, 400\\ \text{dB}.)

Passo 2

Converter o nível sonoro de uma pessoa em intensidade absoluta (proporcional a I_0). A fórmula isolada para I é:
\frac{I}{I_0}=10^{\,n/10}
ou seja
I=I_0\cdot 10^{\,n/10}.
Aplicando para uma pessoa com n_1=100\\ \text{dB}:
I_1=I_0\cdot 10^{\,100/10}=I_0\cdot 10^{10}.
Comentário didático rápido: isso significa que a intensidade sonora dessa pessoa é 10^{10} vezes a intensidade de referência I_0. Não precisamos do valor numérico de I_0 porque ele vai cancelar ao calcular o novo nível em dB.

Passo 3

Explicar como somam várias pessoas: quando várias fontes sonoras não coerentes (pessoas gritando independentemente) estão presentes, as intensidades somam linearmente. Logo, a intensidade total de N pessoas idênticas é
I_{\text{total}}=N\cdot I_1.
Substituindo I_1:
I_{\text{total}}=N\cdot I_0\cdot 10^{10}.

Passo 4

Calcular o nível sonoro total em dB usando a fórmula original:
n_{\text{total}}=10\log_{10}\!\left(\frac{I_{\text{total}}}{I_0}\right) =10\log_{10}\!\bigl(N\cdot 10^{10}\bigr).
Usando propriedades do logaritmo ( \log_{10}(ab)=\log_{10}a+\log_{10}b):
n_{\text{total}}=10\bigl(\log_{10}N+\log_{10}10^{10}\bigr) =10\log_{10}N+10\cdot 10.
Como \log_{10}10^{10}=10, fica
n_{\text{total}}=10\log_{10}N+100.

Passo 5

Agora substitui N=10000. Note que 10000=10^4, então \log_{10}N=4. Assim:
n_{\text{total}}=10\cdot 4 + 100 = 40 + 100 = 140\\ \text{dB}.
Interpretação curta: juntar muitas pessoas gritando aumenta bastante o nível porque as intensidades somam; para 10^4 pessoas idênticas, o acréscimo foi 10\log_{10}(10^4)=40\\ \text{dB} sobre os 100\\ \text{dB} individuais.

Resposta

(C) 140\\ \text{dB}

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