Questão 12. Um disco de
de raio possui uma densidade superficial de carga de
na superfície superior.
(a) Mostre que o módulo do campo elétrico gerado é
(a) Mostre que o módulo do campo elétrico gerado é
Passo 1
O enunciado dá um disco de raio
com densidade superficial de carga
sobre a sua superfície superior. Pede para mostrar uma expressão para o módulo do campo elétrico gerado em um ponto sobre o eixo perpendicular ao disco, a uma distância
da superfície do disco.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
O ponto onde queremos o campo fica a uma distância
do plano do disco, medido ao longo do eixo de simetria (o eixo perpendicular ao disco passando pelo centro). A quantidade pedida é o módulo do campo elétrico
nesse ponto, em função de
,
,
e
.
Observação: o enunciado não perguntou para calcular um valor numérico; pediu para derivar a expressão analítica do campo.
Observação: o enunciado não perguntou para calcular um valor numérico; pediu para derivar a expressão analítica do campo.
Passo 2
Ideia física e decomposição: vamos obter o campo criando o disco como soma de anéis concêntricos infinitesimais. Cada anel tem raio
e espessura
. Como o problema tem simetria axial, o campo gerado por cada anel no ponto do eixo só tem componente ao longo do eixo (componentes transversais se cancelam). Usaremos superposição (somar as contribuições dos anéis) e a lei de Coulomb para distribuição contínua de carga.
Relembre a lei de Coulomb para um elemento de carga: o campo elétrico (vetorial) de um elemento de carga a uma distância
é
Relembre a lei de Coulomb para um elemento de carga: o campo elétrico (vetorial) de um elemento de carga
onde
é o versor do ponto de observação em relação ao elemento. No nosso caso, vamos usar apenas a componente axial dessa expressão.
Passo 3
Expressão do elemento de carga do anel: a área de um anel de raio
e largura
é
. Como a densidade superficial é
(carga por unidade de área), o carregamento do anel é
Agora a geometria: a distância do elemento do anel ao ponto sobre o eixo, que está a distância
do plano do disco, é
. A componente axial (ao longo de
) do campo produzido por
vale
onde
é o cosseno do ângulo entre a linha que liga
ao ponto e o eixo. Aqui
.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão de
: primeiro escrevemos o módulo da contribuição do anel ao longo do eixo:
Agora substituímos
:
Simplificando as constantes
, obtemos
Passo 5
Agora integramos as contribuições de todos os anéis do centro (
) até a borda do disco (
). A componente total do campo ao longo do eixo é
Explicando a integral: o integrando vem da dependência geométrica da contribuição axial do anel; a integral soma as camadas infinitesimais do disco.
Passo 6
Cálculo da integral. Fazemos a substituição
. Então
, isto é
. Os limites em
ficam: quando
,
; quando
,
. Assim
A primitiva de
é
. Portanto
Avaliando os limites:
Passo 7
Voltando para
e substituindo a integral calculada:
Simplificando o fator
com
do primeiro termo:
Essa é a expressão do módulo do campo elétrico ao longo do eixo (apontando para longe da superfície se
). Observações físicas úteis: no limite
a fração
e obtemos
, que é o campo de um plano infinito carregado — bom cheque de consistência. No limite
(sobre a superfície, no eixo) obtemos
, o que corresponde ao campo produzido pela face superior do disco no ponto imediatamente acima (nota: para uma superfície infinita a contribuição da face inferior seria adicional se existisse).
Se quiser, eu te ajudo a inserir os valores numéricos dados e calcular
para um
específico.