Questão 12. Um disco de 2,5 \mathrm{~cm} de raio possui uma densidade superficial de carga de 5,3 \mu C / m^{2} na superfície superior.
(a) Mostre que o módulo do campo elétrico gerado é E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}\left[1-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right]

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=2{,}5\\ \mathrm{cm} com densidade superficial de carga \sigma=5{,}3\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} sobre a sua superfície superior. Pede para mostrar uma expressão para o módulo do campo elétrico gerado em um ponto sobre o eixo perpendicular ao disco, a uma distância z da superfície do disco.
Informações relevantes listadas:
R=2{,}5\\ \mathrm{cm},\qquad \sigma=5{,}3\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
O ponto onde queremos o campo fica a uma distância \,z do plano do disco, medido ao longo do eixo de simetria (o eixo perpendicular ao disco passando pelo centro). A quantidade pedida é o módulo do campo elétrico E nesse ponto, em função de \sigma, \epsilon_0, R e z.
Observação: o enunciado não perguntou para calcular um valor numérico; pediu para derivar a expressão analítica do campo.

Passo 2

Ideia física e decomposição: vamos obter o campo criando o disco como soma de anéis concêntricos infinitesimais. Cada anel tem raio r e espessura dr. Como o problema tem simetria axial, o campo gerado por cada anel no ponto do eixo só tem componente ao longo do eixo (componentes transversais se cancelam). Usaremos superposição (somar as contribuições dos anéis) e a lei de Coulomb para distribuição contínua de carga.
Relembre a lei de Coulomb para um elemento de carga: o campo elétrico (vetorial) de um elemento de carga dq a uma distância s é
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{s^{2}}\hat{\mathbf{s}},
onde \hat{\mathbf{s}} é o versor do ponto de observação em relação ao elemento. No nosso caso, vamos usar apenas a componente axial dessa expressão.

Passo 3

Expressão do elemento de carga do anel: a área de um anel de raio r e largura dr é dA=2\pi r\,dr. Como a densidade superficial é \sigma (carga por unidade de área), o carregamento do anel é
dq=\sigma\,dA=\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
Agora a geometria: a distância do elemento do anel ao ponto sobre o eixo, que está a distância z do plano do disco, é \sqrt{r^{2}+z^{2}}. A componente axial (ao longo de z) do campo produzido por dq vale
dE_z=\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{(r^{2}+z^{2})}\right)\cos\theta,
onde \cos\theta é o cosseno do ângulo entre a linha que liga dq ao ponto e o eixo. Aqui \cos\theta=\dfrac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.

Passo 4

Substituindo \cos\theta e dq na expressão de dE_z: primeiro escrevemos o módulo da contribuição do anel ao longo do eixo:
dE_z=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{(r^{2}+z^{2})}\cdot\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.
Agora substituímos dq=\sigma 2\pi r\,dr:
dE_z=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma 2\pi r\,dr}{(r^{2}+z^{2})}\cdot\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.
Simplificando as constantes \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot 2\pi=\frac{1}{2\epsilon_0}, obtemos
dE_z=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\cdot\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Agora integramos as contribuições de todos os anéis do centro ( r=0) até a borda do disco ( r=R). A componente total do campo ao longo do eixo é
E_z=\int_{0}^{R} dE_z=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Explicando a integral: o integrando vem da dependência geométrica da contribuição axial do anel; a integral soma as camadas infinitesimais do disco.

Passo 6

Cálculo da integral. Fazemos a substituição u=r^{2}+z^{2}. Então du=2r\,dr, isto é r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du. Os limites em u ficam: quando r=0, u=z^{2}; quando r=R, u=z^{2}+R^{2}. Assim
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}=\int_{u=z^{2}}^{u=z^{2}+R^{2}}\frac{\tfrac{1}{2}\,du}{u^{3/2}}=\frac{1}{2}\int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}u^{-3/2}\,du.
A primitiva de u^{-3/2} é -2u^{-1/2}. Portanto
\frac{1}{2}\int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}u^{-3/2}\,du=\frac{1}{2}\bigl[-2u^{-1/2}\bigr]_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}=\bigl[-u^{-1/2}\bigr]_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}.
Avaliando os limites:
\bigl[-u^{-1/2}\bigr]_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}+ \frac{1}{\sqrt{z^{2}}}=\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}.

Passo 7

Voltando para E_z e substituindo a integral calculada:
E_z=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right).
Simplificando o fator z com 1/z do primeiro termo:
E_z=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right).
Essa é a expressão do módulo do campo elétrico ao longo do eixo (apontando para longe da superfície se \sigma>0). Observações físicas úteis: no limite R\to\infty a fração \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\to 0 e obtemos E\to\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}, que é o campo de um plano infinito carregado — bom cheque de consistência. No limite z\to 0 (sobre a superfície, no eixo) obtemos E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-0\right)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}, o que corresponde ao campo produzido pela face superior do disco no ponto imediatamente acima (nota: para uma superfície infinita a contribuição da face inferior seria adicional se existisse).
Se quiser, eu te ajudo a inserir os valores numéricos dados e calcular E(z) para um z específico.

Resposta

E=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right)

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