(a) Um foguete movendo-se no espaço, longe de todos os outros corpos, tem uma velocidade escalar de
em relação à Terra. Seus motores são ligados e o combustível é expelido em uma direção oposta ao movimento do foguete, a uma velocidade escalar de
em relação ao foguete. Qual é a velocidade escalar do foguete em relação à Terra, uma vez que a massa do foguete é reduzida à metade daquela de antes da ignição? (b) Qual é o impulso sobre o foguete se ele queima combustível a uma taxa de
?
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Perguntas: (a) Qual é a velocidade escalar do foguete em relação à Terra após a queima, quando a massa do foguete ficou metade da massa inicial? (b) Qual é o impulso sobre o foguete se ele queima combustível à taxa de
? - Dados fornecidos:
- Observações importantes que vêm do enunciado: os motores expulsam o combustível na direção oposta ao movimento do foguete (ou seja, os jatos são emitidos para trás), e o sistema está isolado (longe de outros corpos), então podemos usar conservação do momento linear para derivar a relação entre velocidade e massa.
Passo 2
Vamos ensinar e deduzir a fórmula que relaciona a variação da velocidade do foguete com a massa que ele perde (a chamada equação do foguete de Tsiolkovsky). É a ferramenta padrão para esse tipo de problema.
Conceito-chave: quando o foguete expulsa uma pequena quantidade de massa de combustível, a quantidade de movimento total do sistema (foguete + combustível expelido) é conservada porque não há forças externas.
Definições e convenções:
- Seja
a massa do foguete num instante e sua velocidade em relação à Terra nesse instante. - Em um intervalo de tempo pequeno
o foguete perde uma pequena massa (com ), ou seja, a massa do foguete passa de para . - A velocidade relativa do combustível ejetado em relação ao foguete (magnitude) é
. Como o combustível é expelido para trás, sua velocidade relativa ao foguete tem sentido oposto ao movimento do foguete. - Queremos relacionar a variação
do foguete com .
Passo 3
Derivação matemática passo a passo (conservação do momento num pequeno intervalo).
Considere o instante antes da ejeção:
- momento total =
.
Após ejetar a pequena massa
, o foguete tem massa
e velocidade
. A massa ejetada
tem velocidade (em relação à Terra) aproximadamente
porque é ejetada para trás com velocidade
relativa ao foguete. Agora aplicamos conservação do momento (não há forças externas significativas):
Agora expandimos e simplificamos, descartando termos de ordem pequena dupla (
é desprezível):
Cancelando
dos dois lados e isolando
:
Reescrevendo:
Integramos ambos os lados do instante inicial (massa
, velocidade
) ao instante final (massa
, velocidade
):
As integrais resultam em:
Esta é a equação do foguete (Tsiolkovsky):
Aqui:
-
é a velocidade final do foguete em relação à Terra, -
é a velocidade inicial, -
é a velocidade de exaustão do combustível relativa ao foguete (magnitude), -
e são as massas inicial e final do foguete.
Essa derivação mostra por que a velocidade aumenta na razão logarítmica da razão de massas — muito didático para prova: sempre explique a integração e o sinal do
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso do item (a).
Temos
,
, e
. Substituindo na equação do foguete:
Como
, obtemos
Calcule a parte do incremento:
Somando:
Arredondando consistentemente com os dados, podemos escrever
.
Passo 5
Agora o item (b): ensinar o que é impulso/empuxo no contexto de jato de foguete e calcular.
Conceito: a queima de combustível que expulsa massa com velocidade relativa
gera uma força sobre o foguete chamada empuxo (thrust). Em termos de taxa de variação de massa, se
taxa de perda de massa (em módulo, positiva) em
, o empuxo (força) tem magnitude
Raciocínio curto: em cada segundo o foguete perde uma massa
; essa massa deixa o foguete com velocidade relativa
, então a variação de momento por segundo (isto é, a força) é
.
No enunciado foi dito que a taxa de queima é
. Portanto:
Observação sobre unidades:
, então o resultado está em newtons.
Se a sua prova pedir “impulso” no sentido de impulso total num intervalo
, o impulso num intervalo
é
. Aqui apresentamos o empuxo (força) gerado continuamente; o impulso por segundo é numericamente igual a
.
Resposta
(a)
\n(b)