(a) Um foguete movendo-se no espaço, longe de todos os outros corpos, tem uma velocidade escalar de 3,0 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à Terra. Seus motores são ligados e o combustível é expelido em uma direção oposta ao movimento do foguete, a uma velocidade escalar de 5,0 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao foguete. Qual é a velocidade escalar do foguete em relação à Terra, uma vez que a massa do foguete é reduzida à metade daquela de antes da ignição? (b) Qual é o impulso sobre o foguete se ele queima combustível a uma taxa de 50 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ?

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Perguntas: (a) Qual é a velocidade escalar do foguete em relação à Terra após a queima, quando a massa do foguete ficou metade da massa inicial? (b) Qual é o impulso sobre o foguete se ele queima combustível à taxa de 50\\ \mathrm{kg/s}?
  • Dados fornecidos: \text{velocidade inicial do foguete em relação à Terra} = 3{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}çãà
\text{velocidade de exaustão do combustível relativa ao foguete (magnitude)} = 5{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}ãí
\text{massa final} = \tfrac{1}{2}\,\text{massa inicial}
\text{taxa de queima de combustível} = 50\\ \mathrm{kg/s}í
  • Observações importantes que vêm do enunciado: os motores expulsam o combustível na direção oposta ao movimento do foguete (ou seja, os jatos são emitidos para trás), e o sistema está isolado (longe de outros corpos), então podemos usar conservação do momento linear para derivar a relação entre velocidade e massa.

Passo 2

Vamos ensinar e deduzir a fórmula que relaciona a variação da velocidade do foguete com a massa que ele perde (a chamada equação do foguete de Tsiolkovsky). É a ferramenta padrão para esse tipo de problema.
Conceito-chave: quando o foguete expulsa uma pequena quantidade de massa de combustível, a quantidade de movimento total do sistema (foguete + combustível expelido) é conservada porque não há forças externas.
Definições e convenções:
  • Seja m a massa do foguete num instante e v sua velocidade em relação à Terra nesse instante.
  • Em um intervalo de tempo pequeno dt o foguete perde uma pequena massa -dm (com dm<0), ou seja, a massa do foguete passa de m para m+dm.
  • A velocidade relativa do combustível ejetado em relação ao foguete (magnitude) é v_e. Como o combustível é expelido para trás, sua velocidade relativa ao foguete tem sentido oposto ao movimento do foguete.
  • Queremos relacionar a variação dv do foguete com dm.

Passo 3

Derivação matemática passo a passo (conservação do momento num pequeno intervalo).
Considere o instante antes da ejeção:
  • momento total = m\,v.
Após ejetar a pequena massa -dm, o foguete tem massa m+dm e velocidade v+dv. A massa ejetada -dm tem velocidade (em relação à Terra) aproximadamente (v - v_e) porque é ejetada para trás com velocidade v_e relativa ao foguete. Agora aplicamos conservação do momento (não há forças externas significativas):
m\,v = (m+dm)(v+dv) + (-dm)\,(v - v_e).
Agora expandimos e simplificamos, descartando termos de ordem pequena dupla ( dm\cdot dv é desprezível):
m\,v = m\,v + m\,dv + v\,dm + dm\,dv - v\,dm + v_e\,dm \approx m\,v + m\,dv + v_e\,dm.
Cancelando m\,v dos dois lados e isolando dv:
m\,dv + v_e\,dm = 0 \quad\Rightarrow\quad m\,dv = -v_e\,dm.
Reescrevendo:
dv = -v_e\,\frac{dm}{m}.
Integramos ambos os lados do instante inicial (massa m_i, velocidade v_i) ao instante final (massa m_f, velocidade v_f):
\int_{v_i}^{v_f} dv = -v_e \int_{m_i}^{m_f} \frac{dm}{m}.
As integrais resultam em:
v_f - v_i = -v_e \ln\!\left(\frac{m_f}{m_i}\right) = v_e \ln\!\left(\frac{m_i}{m_f}\right).
Esta é a equação do foguete (Tsiolkovsky):
\boxed{v_f = v_i + v_e \ln\!\left(\frac{m_i}{m_f}\right).}
Aqui:
  • v_f é a velocidade final do foguete em relação à Terra,
  • v_i é a velocidade inicial,
  • v_e é a velocidade de exaustão do combustível relativa ao foguete (magnitude),
  • m_i e m_f são as massas inicial e final do foguete.
Essa derivação mostra por que a velocidade aumenta na razão logarítmica da razão de massas — muito didático para prova: sempre explique a integração e o sinal do dm.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso do item (a).
Temos v_i = 3{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}, v_e = 5{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}, e m_f = \tfrac{1}{2} m_i. Substituindo na equação do foguete:
v_f = 3{,}0\times 10^{3} + 5{,}0\times 10^{3}\,\ln\!\left(\frac{m_i}{m_f}\right).
Como \dfrac{m_i}{m_f} = 2, obtemos
v_f = 3{,}0\times 10^{3} + 5{,}0\times 10^{3}\,\ln 2.
Calcule a parte do incremento:
\ln 2 \approx 0{,}6931,
\Delta v = 5{,}0\times 10^{3}\times 0{,}6931 \approx 3{,}4655\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Somando:
v_f \approx 3{,}0\times 10^{3} + 3{,}466\times 10^{3} \approx 6{,}466\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando consistentemente com os dados, podemos escrever v_f \approx 6{,}5\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora o item (b): ensinar o que é impulso/empuxo no contexto de jato de foguete e calcular.
Conceito: a queima de combustível que expulsa massa com velocidade relativa v_e gera uma força sobre o foguete chamada empuxo (thrust). Em termos de taxa de variação de massa, se \dot{m} = taxa de perda de massa (em módulo, positiva) em \mathrm{kg/s}, o empuxo (força) tem magnitude
F = \dot{m}\,v_e.
Raciocínio curto: em cada segundo o foguete perde uma massa \dot{m}; essa massa deixa o foguete com velocidade relativa v_e, então a variação de momento por segundo (isto é, a força) é \dot{m}\,v_e.
No enunciado foi dito que a taxa de queima é 50\\ \mathrm{kg/s}. Portanto:
F = 50\\ \mathrm{kg/s} \times 5{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s} = 2{,}50\times 10^{5}\\ \mathrm{N}.
Observação sobre unidades: 1\\ \mathrm{kg/s}\cdot\mathrm{m/s} = 1\\ \mathrm{N}, então o resultado está em newtons.
Se a sua prova pedir “impulso” no sentido de impulso total num intervalo \Delta t, o impulso num intervalo \Delta t é I = F\,\Delta t. Aqui apresentamos o empuxo (força) gerado continuamente; o impulso por segundo é numericamente igual a 2{,}50\times 10^{5}\\ \mathrm{N\cdot s/s}.

Resposta

(a) v_f \approx 6{,}5\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}\n(b) F = 2{,}50\times 10^{5}\\ \mathrm{N}

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