Questão-12. Esboce a região de integração em cada caso
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla:
O objetivo aqui é esboçar a região onde vamos integrar. Vamos precisar entender os limites de integração para
e
e como eles se relacionam. Isso envolve um pouco de geometria e interpretação dos limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites de
. A integral externa vai de 1 a 2, ou seja,
varia entre 1 e 2. Isso nos dá o intervalo no eixo
onde nossa região de integração está situada.
Passo 3
Agora, para cada valor de
entre 1 e 2, o limite de
vai de 0 até
. Isso significa que, para cada
,
começa em 0 (no eixo
) e sobe até
.
Passo 4
Vamos traduzir isso para o plano cartesiano. Primeiro, desenhe os eixos
e
. Marque os pontos onde
e
no eixo
.
Passo 5
Em seguida, considere a reta
. Essa é a linha que determina o limite superior para
. Desenhe essa reta no gráfico. Ela passa pela origem e tem uma inclinação de 2, ou seja, para cada aumento de 1 em
,
aumenta 2.
Passo 6
Agora, nossa região de integração está entre
e
e entre
e
. Isso forma um trapézio no primeiro quadrante, limitado verticalmente por
e
, pela base inferior
e pela base superior
.
Resposta
A região de integração é um trapézio limitado pelas retas
,
,
e
, situado no primeiro quadrante do plano cartesiano.