Questão-12. Esboce a região de integração em cada caso
a) integral1^2 integral0^2 x x y^3 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla:
integral1^2 integral0^2x x y^3 , dy , dx
O objetivo aqui é esboçar a região onde vamos integrar. Vamos precisar entender os limites de integração para e e como eles se relacionam. Isso envolve um pouco de geometria e interpretação dos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de . A integral externa vai de 1 a 2, ou seja, varia entre 1 e 2. Isso nos dá o intervalo no eixo onde nossa região de integração está situada.

Passo 3

Agora, para cada valor de entre 1 e 2, o limite de vai de 0 até . Isso significa que, para cada , começa em 0 (no eixo ) e sobe até .

Passo 4

Vamos traduzir isso para o plano cartesiano. Primeiro, desenhe os eixos e . Marque os pontos onde e no eixo .

Passo 5

Em seguida, considere a reta . Essa é a linha que determina o limite superior para . Desenhe essa reta no gráfico. Ela passa pela origem e tem uma inclinação de 2, ou seja, para cada aumento de 1 em , aumenta 2.

Passo 6

Agora, nossa região de integração está entre e e entre e . Isso forma um trapézio no primeiro quadrante, limitado verticalmente por e , pela base inferior e pela base superior .

Resposta

A região de integração é um trapézio limitado pelas retas , , e , situado no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Exercícios relacionados