Considere que a função velocidade (v(t)) de um corpo é dada por v(t)=t sec ^2(2 t), em que t é o tempo dado em segundos. Calcule a função posição s(t) dada por s(t)=integral v(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a função posição a partir da função velocidade . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a integração de funções que combinam polinômios e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Ela é útil quando temos o produto de duas funções e permite dividir a integral em partes mais simples. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 3

Identificando as partes na nossa integral u = t e dv = sec^2(2t) , dt , vamos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du = dt e v = integral sec^2(2t) , dt :
v = 12 tan(2t)
Sabemos que , então:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t sec^2(2t) , dt = u v - integral v , du = t cdot 12 tan(2t) - integral 12 tan(2t) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar integral 12 tan(2t) , dt = 12 cdot ( -12 ln |cos(2t)| ) + C = -14 ln |cos(2t)| + C :
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, a função posição é:
s(t) = t2 tan(2t) + 14 ln |cos(2t)| + C

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