Questão 12. Mostre que \mathbb{Z}_{3} não é subanel de \mathbb{Z}_{5}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe nenhum subanel de \mathbb{Z}_{5} isomorfo a \mathbb{Z}_{3}. O conteúdo principal aqui é a característica (exponente aditivo) de um anel e o fato de que, se S é subanel de R, então
\mathrm{char}(S)\mid \mathrm{char}(R).

Passo 2

Definimos a característica de um anel R (não necessariamente com unidade) como o menor inteiro positivo n tal que
n\cdot r = \underbrace{r + r + \cdots + r}_{n\text{ vezes}} = 0
para todo r\in R. Se não existir tal n, dizemos que \mathrm{char}(R)=0.

Passo 3

Como grupo aditivo \mathbb{Z}_{3} tem exatamente ordem 3, sua característica é
\mathrm{char}(\mathbb{Z}_{3}) = 3.

Passo 4

De modo análogo, o grupo aditivo de \mathbb{Z}_{5} tem ordem 5, logo
\mathrm{char}(\mathbb{Z}_{5}) = 5.

Passo 5

Se \mathbb{Z}_{3} fosse subanel de \mathbb{Z}_{5}, teríamos necessariamente
\mathrm{char}(\mathbb{Z}_{3}) \;\bigm|\;\mathrm{char}(\mathbb{Z}_{5}),
ou seja, 3\mid5. Mas 3 não divide 5. Isso contradiz a condição de existência de subanel.

Resposta

Não existe subanel de \mathbb{Z}_{5} isomorfo a \mathbb{Z}_{3}, pois sua característica não satisfaz a relação de divisibilidade necessária.

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