Questão 13. Sejam
anel e
. Mostre que
é um subanel de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um anel
e um elemento fixo
. Definimos
.
Queremos mostrar que é subanel de
, ou seja, que
contém o zero (e, se for subanel unitário, a unidade), e é fechado sob soma, inverso aditivo e produto.
Queremos mostrar que
Passo 2
Mostramos que o zero de
pertence a
. Como
, concluímos que
. Se estivermos exigindo subanel unitário, cheque também a unidade:
, logo
.
Passo 3
Verificamos fechadura sob soma. Tomemos
. Então
Portanto
.
Passo 4
Verificamos fechadura sob inverso aditivo. Se
, então
. Multiplicando aditivamente por
,
de modo que
.
Passo 5
Verificamos fechadura sob produto. Para
temos
logo
.