Questão 12. Mostre que todo polinômio de grau impar, maior igual a 3, \mathrm{em} \mathbb{R}[x] te mpelo menos uma raiz em \mathbb{R}. (Dica: Teorema do Valor Intermediário)

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a seguinte afirmação: "todo polinômio de grau ímpar, maior ou igual a 3, em \mathbb{R}[x] tem pelo menos uma raiz em \mathbb{R}".
Informações dadas que vamos usar: um polinômio p(x)\in\mathbb{R}[x] de grau n, com n ímpar e n\ge 3. Escrevemos o polinômio na forma
p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,
onde a_n\neq 0 e todos os coeficientes a_k são números reais. O objetivo é provar que existe c\in\mathbb{R} tal que p\text{(c)}=0.

Passo 2

Breve explicação do plano (sem resolver ainda): a ideia é usar um fato clássico sobre funções contínuas — se uma função contínua toma valores de sinais opostos em dois pontos, então ela zera em algum ponto entre eles. Para aplicar isso precisamos (i) saber que polinômios são funções contínuas e (ii) encontrar dois pontos A e B com p(A)\cdot p(B)<0 (ou seja, sinais opostos). Vou justificar cada peça com calma, para você aplicar passo a passo na prova.

Passo 3

Explicação didática do teorema que vamos usar (enunciado e interpretação): o Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz o seguinte: se f é contínua num intervalo fechado [a,b] e y é qualquer valor entre f(a) e f(b), então existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=y. Em particular, se f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0. Intuitivamente: uma função contínua não “salta” de um valor positivo para um negativo sem passar por zero. Esse é o mecanismo que vamos usar.

Passo 4

Por que polinômios são contínuos (explicação passo a passo): monômios x\mapsto x^k são funções contínuas para todo inteiro k\ge0. Multiplicar por uma constante a_k e somar funções contínuas preserva continuidade. Como um polinômio é soma finita de monômios multiplicados por coeficientes, concluímos que qualquer polinômio p é contínuo em todo \mathbb{R}. Ou seja, podemos usar o TVI em qualquer intervalo [a,b].

Passo 5

Análise do comportamento de p(x) quando |x| fica muito grande (intuição e cálculo): escrevemos
p(x)=x^n\Bigl(a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \frac{a_{n-2}}{x^2} + \cdots + \frac{a_0}{x^n}\Bigr).
Considere a expressão entre parênteses:
q(x):=a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \cdots + \frac{a_0}{x^n}.
Quando x\to\infty ou x\to -\infty, cada termo \frac{a_k}{x^{n-k}} tende a 0, portanto
\lim_{x\to\pm\infty} q(x) = a_n.
Assim, para |x| suficientemente grande, q(x) fica muito próximo de a_n e, em particular, tem o mesmo sinal de a_n. Vamos tornar isso um pouco explícito para usar na prova.

Passo 6

Escolha explícita de pontos com sinais opostos (detalhe técnico útil na prova): como q(x)\to a_n quando |x|\to\infty, existe M>0 tal que, para todo x com |x|>M,
\bigl|q(x)-a_n\bigr|<\frac{|a_n|}{2}.
Isso implica que, para |x|>M,
|q(x)|>\frac{|a_n|}{2}\quad\text{e}\quad \operatorname{sign}(q(x))=\operatorname{sign}(a_n).
Agora olhe para p(x)=x^n q(x). Como n é ímpar, o sinal de x^n tem o mesmo sinal de x: quando x>0 grande, x^n>0; quando x<0 e grande em módulo, x^n<0. Portanto, para x>M temos
\operatorname{sign}\bigl(p(x)\bigr)=\operatorname{sign}\bigl(a_n\bigr)\cdot\operatorname{sign}\bigl(x^n\bigr)=\operatorname{sign}\bigl(a_n\bigr),
e para x<-M (lembre que n ímpar) temos
\operatorname{sign}\bigl(p(x)\bigr)=\operatorname{sign}\bigl(a_n\bigr)\cdot\operatorname{sign}\bigl(x^n\bigr)=-\operatorname{sign}\bigl(a_n\bigr).
Em palavras: para x suficientemente grande e positivo, p(x) tem o mesmo sinal que a_n; para x suficientemente grande e negativo, p(x) tem sinal oposto ao de a_n. Assim escolhemos os pontos
A=-M,\qquad B=+M,
e obtemos p(A)\cdot p(B)<0 (ou seja, sinais opostos).

Passo 7

Aplicação do Teorema do Valor Intermediário e conclusão final: como p é contínuo em [A,B]=[-M,M] e p(A) e p(B) têm sinais opostos, pelo TVI existe c\in(A,B) tal que p\text{(c)}=0. Isso mostra que o polinômio p possui pelo menos uma raiz real.

Passo 8

Comentário prático para a prova: na hora da prova você pode escrever de forma enxuta assim: escreva p(x)=a_n x^n+\dots, note que \lim_{x\to\infty}p(x)=\operatorname{sign}(a_n)\infty e \lim_{x\to -\infty}p(x)=-\operatorname{sign}(a_n)\infty porque n é ímpar; escolha A e B com |A|,|B| grandes com sinais opostos de p, e aplique TVI. Isso resolve rapidinho e com segurança na prova.

Resposta

Todo polinômio de grau ímpar maior ou igual a 3 em \mathbb{R}[x] possui pelo menos uma raiz em \mathbb{R}.

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