Calcule o
para os seguintes polinômios em
Passo 1
O enunciado pede para calcular o
em
. As informações dadas são:
Estamos trabalhando sobre o corpo
. O que precisamos entregar é o máximo divisor comum (mdc) de
e
em
.
Passo 2
O que é o
em
e qual método usar (explicação didática)?
- Em
(corpo alg. fechado) todo polinômio se fatoriza em fatores lineares. Então uma forma simples de achar o é fatorizar e em fatores lineares e tomar o produto dos fatores lineares comuns, com a menor multiplicidade que aparecem em cada polinômio. - Mais formalmente: se
então
Vou usar esse método porque estamos em
(fatorização completa) e as expressões dadas já facilitam a fatoração em fatores lineares. Prometo explicar cada passo devagarinho.
Passo 3
Fatoração de
. Primeiro fatoramos cada fator quadrático/biquadrado que aparece em
.
- Sabemos que
porque
são as raízes de
.
- E
porque
são as raízes de
.
Logo, escrevemos totalmente fatorado em
:
Logo, escrevemos
Passo 4
Fatoração de
. Vamos fatorar
e multiplicar por
.
- A fatoração conhecida de
é
- Portanto
As raízes do quadrático
são as duas raízes primitiva da unidade de terceira ordem:
ou seja, valores que não são
,
,
ou
. Para verificar rapidamente que
e
não coincidem com
ou
, basta observar que
tem parte real
e parte imaginária
, diferentes dos valores de
e
.
Passo 5
Listagem explícita dos fatores lineares com multiplicidades.
- Para
temos os fatores lineares (todos de multiplicidade ):
- Para
temos os fatores lineares (todos de multiplicidade ):
onde
e
vêm de
.
Agora identificamos os fatores comuns: compare as duas listas.
Agora identificamos os fatores comuns: compare as duas listas.
Passo 6
Determinação do
por comparação de fatores.
- Fatores que aparecem em ambos:
aparece em e em ; aparece em e em . - Outros fatores de
( , ) não aparecem em . Os fatores e de não aparecem em . - As multiplicidades de
e em ambos os polinômios são , então usamos para cada.
Portanto oé o produto desses fatores comuns (normalmente escolhemos o polinômio monico):
Passo 7
(Verificação rápida opcional e forma expandida)
- Produto fatorado já é monico (coeficiente líder
). Se quisermos expandir:
Ambas as formas são equivalentes; a forma fatorada deixa claro as raízes comuns.