Calcule o m d c\{f, g\} para os seguintes polinômios em \mathbb{C}[x]
f=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right) ; g=(x+i)\left(x^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o \operatorname{mdc}\{f,g\} em \mathbb{C}[x]. As informações dadas são:
f=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right)
g=(x+i)\left(x^{3}-1\right)
Estamos trabalhando sobre o corpo \mathbb{C}. O que precisamos entregar é o máximo divisor comum (mdc) de f e g em \mathbb{C}[x].

Passo 2

O que é o \operatorname{mdc} em \mathbb{C}[x] e qual método usar (explicação didática)?
  • Em \mathbb{C}[x] (corpo alg. fechado) todo polinômio se fatoriza em fatores lineares. Então uma forma simples de achar o \operatorname{mdc} é fatorizar f e g em fatores lineares e tomar o produto dos fatores lineares comuns, com a menor multiplicidade que aparecem em cada polinômio.
  • Mais formalmente: se
f=\prod_{j}(x-a_j)^{\alpha_j},\qquad g=\prod_{j}(x-a_j)^{\beta_j}
então
\operatorname{mdc}(f,g)=\prod_{j}(x-a_j)^{\min(\alpha_j,\beta_j)}.
Vou usar esse método porque estamos em \mathbb{C} (fatorização completa) e as expressões dadas já facilitam a fatoração em fatores lineares. Prometo explicar cada passo devagarinho.

Passo 3

Fatoração de f. Primeiro fatoramos cada fator quadrático/biquadrado que aparece em f.
  • Sabemos que
x^{2}+1=(x-i)(x+i),
porque \pm i são as raízes de x^{2}+1=0.
  • E
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
porque \pm 1 são as raízes de x^{2}-1=0.
Logo, escrevemos f totalmente fatorado em \mathbb{C}[x]:
f=(x-i)(x+i)(x-1)(x+1).

Passo 4

Fatoração de g. Vamos fatorar x^{3}-1 e multiplicar por (x+i).
  • A fatoração conhecida de x^{3}-1 é
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
  • Portanto
g=(x+i)(x-1)(x^{2}+x+1).
As raízes do quadrático x^{2}+x+1 são as duas raízes primitiva da unidade de terceira ordem:
\omega=\mathrm{e}^{2\pi i/3}\quad\text{e}\quad \omega^{2}=\mathrm{e}^{4\pi i/3},
ou seja, valores que não são 1, -1, i ou -i. Para verificar rapidamente que \omega e \omega^{2} não coincidem com \pm i ou \pm 1, basta observar que \omega tem parte real -\tfrac12 e parte imaginária \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}, diferentes dos valores de \pm i e \pm 1.

Passo 5

Listagem explícita dos fatores lineares com multiplicidades.
  • Para f temos os fatores lineares (todos de multiplicidade 1):
x-i,\quad x+i,\quad x-1,\quad x+1.
  • Para g temos os fatores lineares (todos de multiplicidade 1):
x+i,\quad x-1,\quad x-\omega,\quad x-\omega^{2},
onde \omega e \omega^{2} vêm de x^{2}+x+1.
Agora identificamos os fatores comuns: compare as duas listas.

Passo 6

Determinação do \operatorname{mdc} por comparação de fatores.
  • Fatores que aparecem em ambos: (x+i) aparece em f e em g; (x-1) aparece em f e em g.
  • Outros fatores de f ( x-i, x+1) não aparecem em g. Os fatores x-\omega e x-\omega^{2} de g não aparecem em f.
  • As multiplicidades de (x+i) e (x-1) em ambos os polinômios são 1, então usamos \min(1,1)=1 para cada.
    Portanto o \operatorname{mdc} é o produto desses fatores comuns (normalmente escolhemos o polinômio monico):
\operatorname{mdc}(f,g)=(x-1)(x+i).

Passo 7

(Verificação rápida opcional e forma expandida)
  • Produto fatorado já é monico (coeficiente líder 1). Se quisermos expandir:
(x-1)(x+i)=x^{2}+(i-1)x - i.
Ambas as formas são equivalentes; a forma fatorada deixa claro as raízes comuns.

Resposta

(x-1)(x+i)

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