Questão 12. Os pontos P_{1}=(1,1,1) e P_{2}=(3,3,3) estão sobre uma reta r. Encontre:
(a) A equação vetorial de r.
(b) Encontre as equações paramétricas do segmento de reta P_{1} P_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em \mathbb{R}^3, P_{1}=(1,1,1) e P_{2}=(3,3,3), que determinam uma reta r.
Conteúdo: equação vetorial de reta e equações paramétricas de segmento.
Para resolver vamos precisar
  1. encontrar o vetor direção \mathbf{v}=P_{2}-P_{1},
  2. escrever a forma vetorial \mathbf{r}(t)=P_{1}+t\,\mathbf{v},
  3. restringir o parâmetro para obter o segmento P_{1}P_{2}.

Passo 2

Calculamos o vetor direção subtraindo coordenada a coordenada:
\mathbf{v} = P_{2}-P_{1} = (3-1,\;3-1,\;3-1) = (2,2,2).

Passo 3

A equação vetorial da reta r que passa por P_{1} com direção \mathbf{v} é
\mathbf{r}(t) = (1,1,1) + t\,(2,2,2),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para o segmento de reta entre P_{1} e P_{2} usamos o mesmo vetor direção, mas restringimos o parâmetro t ao intervalo [0,1]. Assim, as equações paramétricas são
x(t) = 1 + 2t,\quad y(t) = 1 + 2t,\quad z(t) = 1 + 2t,\quad t\in[0,1].

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t) = (1,1,1) + t\,(2,2,2),\;t\in\mathbb{R}.
(b) \displaystyle x(t)=1+2t,\;y(t)=1+2t,\;z(t)=1+2t,\;t\in[0,1].

Exercícios relacionados