Questão 14. Um plano \pi passa pelo ponto A=(-1,-2,-3) e é paralelo a um plano gerado pelos vetores \vec{u}=(1,5,2) e \vec{v}=(2,7,3).
(a) Encontre a equação vetorial do plano \pi.
(b) Encontre as equações paramétricas do plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá um plano \pi que passa pelo ponto A=(-1,-2,-3) e é paralelo ao plano gerado pelos vetores \vec{u}=(1,5,2) e \vec{v}=(2,7,3). Para definir \pi basta usar um ponto sobre ele e dois vetores diretores independentes: isso nos leva à equação vetorial do plano, da qual podemos extrair as equações paramétricas.

Passo 2

A equação vetorial de um plano que passa em A e tem direções \vec{u} e \vec{v} é
\vec{r} = \overrightarrow{OA} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v},
onde \overrightarrow{OA} = (-1,-2,-3). Substituindo:
\vec{r} = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -3\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\\ 5\\\ 2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\\ 7\\\ 3\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Das componentes do vetor acima extraímos as equações paramétricas, associando x,y,z a cada linha:
\begin{cases} x = -1 + s + 2t,\\\ y = -2 + 5s + 7t,\\\ z = -3 + 2s + 3t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) \vec{r} = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -3\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\\ 5\\\ 2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\\ 7\\\ 3\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.
(b) \begin{cases} x = -1 + s + 2t,\\\ y = -2 + 5s + 7t,\\\ z = -3 + 2s + 3t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

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