Questão 12: Pra que serve a equação da linha elástica? Qual sua relação com a equação do momento fletor e com a do esforço de corte?
Passo 1
O enunciado pergunta para que serve a equação da linha elástica e qual é a sua relação com as equações do momento fletor e do esforço cortante. O conteúdo envolve teoria de vigas em flexão, em particular a determinação de deformações (flechas e inclinações) a partir dos carregamentos. Para resolver, vamos usar a hipótese de pequenas deformações e a relação entre curvatura, momento e as propriedades geométricas e materiais da seção.
Passo 2
A equação da linha elástica expressa a deflexão transversal
de uma viga submetida a cargas distribuídas ou concentradas. Com a hipótese de pequenas deformações, a curvatura da viga é dada por
onde
é o módulo de elasticidade do material,
o momento de inércia da seção e
o momento fletor em função da abscissa
. Assim, a equação diferencial básica da linha elástica é
Passo 3
A relação anterior mostra diretamente a conexão com a equação do momento fletor. Se
é conhecido a partir do equilíbrio interno da viga, então integrando-se duas vezes
obtêm-se as expressões para a inclinação
e para a deflexão
, satisfazendo as condições de contorno (engastes, apoios, etc.).
Passo 4
Para ver a ligação com o esforço cortante, bastar derivar a equação do momento:
onde
é o esforço cortante. Logo, derivando a equação da linha elástica uma vez a mais, temos
E derivando novamente, relaciona-se ao carregamento distribuído
:
Resposta
A equação da linha elástica serve para calcular a deflexão e a inclinação da viga sob flexão, ligando a curvatura
ao momento fletor via
Diferenciando, obtém-se o esforço cortante
mostrando a íntima relação entre a linha elástica, o momento fletor e o esforço cortante.