Questão 12: Pra que serve a equação da linha elástica? Qual sua relação com a equação do momento fletor e com a do esforço de corte?

Passo 1

O enunciado pergunta para que serve a equação da linha elástica e qual é a sua relação com as equações do momento fletor e do esforço cortante. O conteúdo envolve teoria de vigas em flexão, em particular a determinação de deformações (flechas e inclinações) a partir dos carregamentos. Para resolver, vamos usar a hipótese de pequenas deformações e a relação entre curvatura, momento e as propriedades geométricas e materiais da seção.

Passo 2

A equação da linha elástica expressa a deflexão transversal y(x) de uma viga submetida a cargas distribuídas ou concentradas. Com a hipótese de pequenas deformações, a curvatura da viga é dada por
\kappa(x)=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\approx\frac{M(x)}{E\,I}\,,
onde E é o módulo de elasticidade do material, I o momento de inércia da seção e M(x) o momento fletor em função da abscissa x. Assim, a equação diferencial básica da linha elástica é
E\,I\,\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=M(x)\,.

Passo 3

A relação anterior mostra diretamente a conexão com a equação do momento fletor. Se M(x) é conhecido a partir do equilíbrio interno da viga, então integrando-se duas vezes
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{M(x)}{E\,I}
obtêm-se as expressões para a inclinação \mathrm{d}y/\mathrm{d}x e para a deflexão y(x), satisfazendo as condições de contorno (engastes, apoios, etc.).

Passo 4

Para ver a ligação com o esforço cortante, bastar derivar a equação do momento:
\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=V(x)\,,
onde V(x) é o esforço cortante. Logo, derivando a equação da linha elástica uma vez a mais, temos
E\,I\,\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}=\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=V(x)\,.
E derivando novamente, relaciona-se ao carregamento distribuído q(x):
E\,I\,\frac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4}=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}=-q(x)\,.

Resposta

A equação da linha elástica serve para calcular a deflexão e a inclinação da viga sob flexão, ligando a curvatura \mathrm{d}^2y/\mathrm{d}x^2 ao momento fletor via
E\,I\,\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=M(x).
Diferenciando, obtém-se o esforço cortante
E\,I\,\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}=V(x),
mostrando a íntima relação entre a linha elástica, o momento fletor e o esforço cortante.

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