Questão 11: Explique com suas palavras, o que é a hipótese de Euler-Bernoulli para vigas e quando é válida.

Passo 1

O enunciado pede que expliquemos, com nossas próprias palavras, qual é a hipótese de Euler–Bernoulli aplicada à teoria de vigas e em que situações essa hipótese é considerada válida. O conteúdo envolve a teoria clássica de flexão de vigas, em que se faz uma série de simplificações para relacionar momento fletor e deslocamento transversal.

Passo 2

A hipótese fundamental de Euler–Bernoulli diz que, durante a flexão de uma viga, cada seção transversal que era originalmente reta e perpendicular ao eixo neutro permanece reta e perpendicular ao eixo neutro após a deformação. Em outras palavras, admite-se que não ocorre deformação por cisalhamento dentro da seção: as fibras longitudinalmente distantes do eixo neutro alongam-se ou comprimem-se, mas a seção não “torce” nem “dobra” em si mesma.

Passo 3

Dessa hipótese segue que o campo de deslocamentos é descrito apenas por um único parâmetro, o deslocamento transversal w(x) ao longo do eixo x. A rotação da seção num ponto x é simplesmente -w'(x), e a deformação longitudinal numa fibra a uma distância y do eixo neutro é
\varepsilon_{xx}(x,y) = -\,y\,w''(x)\,.
Com isso, a tensão normal é \sigma_{xx}=E\,\varepsilon_{xx} e o momento de flexão local M(x) satisfaz
M(x) = \int_A y\,\sigma_{xx}\,\mathrm{d}A = E\,I\,w''(x),
onde I é o momento de inércia da seção.

Passo 4

A validade da hipótese de Euler–Bernoulli depende de algumas condições:
  1. A viga deve ser “esbelta”, isto é, o comprimento L muito maior que as dimensões transversais h, tipicamente \tfrac{L}{h}\gtrsim10.
  2. As deformações devem ser pequenas (pequenas rotações e deslocamentos).
  3. O material deve comportar-se de forma linear-elástica e isotrópica.
  4. Efeitos de cisalhamento transversal e de inércia rotacional devem ser desprezíveis (baixo carregamento dinâmico e baixa rigidez ao cisalhamento).

Resposta

A hipótese de Euler–Bernoulli para vigas afirma que seções transversais planas e perpendiculares ao eixo neutro permanecem assim após a flexão, implicando deformação longitudinal \varepsilon_{xx}=-y\,w''(x) e sem deformação de cisalhamento. Ela é válida quando a viga é esbelta ( \tfrac{L}{h}\gtrsim10), com pequenas deformações, material linear-elástico e carga de cisalhamento desprezível.

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