Questão 6: O que é o núcleo central? Explique com suas palavras como se determina os limites do mesmo.

Passo 1

O enunciado pergunta “O que é o núcleo central?” e “Como se determinam os seus limites?”. Esse conceito pertence à análise de vigas ou pilares submetidos à força axial excêntrica, ou seja, à teoria de flexo-compressão de seções transversais. Para responder, vamos precisar conhecer a distribuição linear de tensões em função da excentricidade da carga e as propriedades geométricas da seção (área A e momento de inércia I).

Passo 2

O núcleo central de uma seção transversal é a região dentro da qual a linha de ação da força normal P deve permanecer para que, ao combinar P e o momento fletor resultante M, todas as fibras da seção fiquem sob compressão (nenhuma fibra em tração). Em outras palavras, se a resultante P agir dentro desse núcleo, a tensão máxima em qualquer ponto da seção será não negativa, evitando a fissuração ou o arrancamento da face oposta.

Passo 3

Para encontrar os limites do núcleo central, usamos a condição de que, na fibra mais afastada da linha de ação de P, a tensão seja zero. Sabemos que, para excentricidade e, a tensão em uma fibra a uma distância c do centroide vale
\sigma = \frac{P}{A}\,\Bigl(1 \pm \frac{e\,c}{I}\Bigr).
Impondo \sigma=0 na fibra mais compressa (sinal “ +” ou “ -” conforme o lado), obtemos
\frac{P}{A} - \frac{P}{A}\,\frac{e\,c}{I} = 0 \quad\Longrightarrow\quad e = \frac{I}{A\,c}\,.
Esse valor de e é a excentricidade máxima em cada direção para a qual ainda não aparece tração. Desenhando essas distâncias em todos os sentidos (x e y), as intersecções formam o contorno do núcleo central.

Passo 4

Em seções retangulares de base b e altura h, temos
I_x = \frac{b\,h^3}{12},\quad c_x = \frac{h}{2} \quad\Longrightarrow\quad e_x = \frac{I_x}{A\,c_x} = \frac{\tfrac{b\,h^3}{12}}{(b\,h)\,\tfrac{h}{2}} = \frac{h}{6}.
Analogamente em y,
e_y = \frac{b}{6}.
Portanto, o núcleo central é um retângulo de semi-eixos \tfrac{b}{6} e \tfrac{h}{6} centrado no centroide. Para formas gerais, calcula-se e em cada direção normal à aresta usando I e c correspondentes e traça-se o envelope das direções estudadas.

Resposta

O núcleo central é a região do plano da seção em que a linha de ação de P pode cair sem gerar tração em nenhuma fibra. Seus limites vêm da condição de tensão nula na fibra mais afastada:
e = \frac{I}{A\,c},
e o contorno resultante, obtido para todas as direções, é o núcleo central.

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