Questão 12: Sejam A, B matrizes de ordem n. Mostre que se A X=B X para todas as matrizes X do tipo n \times 1 então A=B.
Passo 1
O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n e satisfazem
A X = B X
para todo vetor coluna X\in\mathbb{R}^{n\times1}.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: entender que uma matriz é determinada pelas imagens de uma base e, em particular, pelas suas colunas. Para provar que A=B, vamos usar vetores da base canônica e a interpretação de M X como combinação linear das colunas de M.
Passo 2
Recordando como a multiplicação M X funciona: se as colunas de M são \mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_n e
X = \begin{pmatrix}x_1\\\ \vdots\\\ x_n\end{pmatrix},
então
M X \;=\; x_1\,\mathbf{c}_1 \;+\; x_2\,\mathbf{c}_2 \;+\;\cdots+\;x_n\,\mathbf{c}_n.
Ou seja, o resultado é uma combinação linear dos vetores-coluna de M com coeficientes dados pelas entradas de X.
Passo 3
Escolhemos agora X=e_i, o i-ésimo vetor da base canônica, que tem 1 na posição i e 0 nas demais. Pela hipótese A e_i = B e_i, temos que a imagem de e_i por A e por B coincide.
Passo 4
Mas A e_i é exatamente a i-ésima coluna de A, que chamamos \mathbf{a}_i, e B e_i é a i-ésima coluna de B, que chamamos \mathbf{b}_i. Logo
\mathbf{a}_i = A e_i = B e_i = \mathbf{b}_i
para todo i=1,2,\dots,n.
Passo 5
Como todas as colunas de A e B coincidem, concluímos que A e B são exatamente a mesma matriz.