Questão 14: Mostre que a matriz
A=\left[\begin{array}{rr} \cos \alpha & \sin \alpha \\\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]
é inversível e calcule a sua inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha\\\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}
e pede para mostrar que A é inversível (ou seja, \det(A)\neq0) e, em seguida, calcular A^{-1}. O conteúdo envolve cálculo de determinante e aplicação da fórmula da inversa de uma matriz 2\times2.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o determinante de A. Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix}
temos \det = ad - bc. No nosso caso,
\det(A) = (\cos \alpha)(\cos \alpha) - (\sin \alpha)(-\sin \alpha).

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1, obtemos
\det(A) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1.
Como \det(A)=1\neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da inversa para matrizes 2\times2: se
M = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então
M^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
No nosso caso a=\cos\alpha, b=\sin\alpha, c=-\sin\alpha, d=\cos\alpha e ad-bc=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula,
A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.
Note que esta é exatamente a matriz de rotação de -\alpha (ou o tranposto de A).

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha\\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}.

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