Questão 13: Em cada item escreva o polinômio dado como combinação linear dos polinômios p_{1}(t)=1+t, p_{2}(t)=1-t+t^{2} e p_{3}(t)=1-t^{2}. 1+t+t^{2};
Passo 1
O enunciado pede: escrever o polinômio dado como combinação linear dos polinômios abaixo. Os polinômios fornecidos são (peguei-os do enunciado):
p_{1}(t)=1+t
p_{2}(t)=1-t+t^{2}
p_{3}(t)=1-t^{2}
O polinômio a escrever como combinação linear é:
1+t+t^{2}
A tarefa é encontrar escalares a,b,c tais que
a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t)=1+t+t^{2}.
Passo 2
Ideia e método passo a passo (mini-aula): quando duas expressões polinomiais são iguais para todo t, os coeficientes de 1, de t e de t^{2} devem ser iguais. Por isso vamos escrever a combinação linear, expandir e igualar coeficientes das potências 1, t e t^{2}. Escrevendo a combinação:
a(1+t)+b(1-t+t^{2})+c(1-t^{2}).
Agora vamos expandir cada termo e agrupar os coeficientes de cada potência de t.
Passo 3
Expandindo e agrupando coeficientes:
Coeficiente do termo constante (1): a+b+c.
Coeficiente de t: a - b.
Coeficiente de t^{2}: b - c.
Esses devem ser iguais aos coeficientes do polinômio-alvo 1+t+t^{2}, que são, respectivamente, 1, 1 e 1. Assim obtemos o sistema linear