• Questão 13: Em cada item escreva o polinômio dado como combinação linear dos polinômios p_{1}(t)=1+t, p_{2}(t)=1-t+t^{2} e p_{3}(t)=1-t^{2}.
    1+t+t^{2};

Passo 1

O enunciado pede: escrever o polinômio dado como combinação linear dos polinômios abaixo. Os polinômios fornecidos são (peguei-os do enunciado):
  • p_{1}(t)=1+t
  • p_{2}(t)=1-t+t^{2}
  • p_{3}(t)=1-t^{2}
O polinômio a escrever como combinação linear é:
  • 1+t+t^{2}
A tarefa é encontrar escalares a,b,c tais que
a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t)=1+t+t^{2}.

Passo 2

Ideia e método passo a passo (mini-aula): quando duas expressões polinomiais são iguais para todo t, os coeficientes de 1, de t e de t^{2} devem ser iguais. Por isso vamos escrever a combinação linear, expandir e igualar coeficientes das potências 1, t e t^{2}. Escrevendo a combinação:
a(1+t)+b(1-t+t^{2})+c(1-t^{2}).
Agora vamos expandir cada termo e agrupar os coeficientes de cada potência de t.

Passo 3

Expandindo e agrupando coeficientes:
  • Coeficiente do termo constante ( 1): a+b+c.
  • Coeficiente de t: a - b.
  • Coeficiente de t^{2}: b - c.
Esses devem ser iguais aos coeficientes do polinômio-alvo 1+t+t^{2}, que são, respectivamente, 1, 1 e 1. Assim obtemos o sistema linear
\begin{cases} a+b+c=1,\\[4pt] a-b=1,\\[4pt] b-c=1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema de forma direta e bem mastigada:
Da segunda equação a-b=1 obtemos
a=1+b.
Da terceira equação b-c=1 obtemos
c=b-1.
Substituindo a e c na primeira equação:
(1+b)+b+(b-1)=1.
Simplificando o lado esquerdo:
1+b+b+b-1=3b.
Logo
3b=1\quad\Rightarrow\quad b=\frac{1}{3}.
Agora calculamos a e c:
a=1+b=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}, \qquad c=b-1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (somar as contribuições para checar que bate):
  • a\,p_{1}(t)=\dfrac{4}{3}(1+t) contribui com constantes \dfrac{4}{3} e coeficiente de t \dfrac{4}{3}.
  • b\,p_{2}(t)=\dfrac{1}{3}(1-t+t^{2}) contribui com constantes \dfrac{1}{3}, coeficiente de t -\dfrac{1}{3} e de t^{2} \dfrac{1}{3}.
  • c\,p_{3}(t)=-\dfrac{2}{3}(1-t^{2}) contribui com constantes -\dfrac{2}{3} e de t^{2} \dfrac{2}{3}.
Somando coeficientes:
  • constante: \dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=1,
  • coeficiente de t: \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}=1,
  • coeficiente de t^{2}: \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1.
Confere com 1+t+t^{2}. Então os escalares estão corretos.

Resposta

1+t+t^{2}=\dfrac{4}{3}p_{1}(t)+\dfrac{1}{3}p_{2}(t)-\dfrac{2}{3}p_{3}(t)

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