1. Seja V=\mathcal{P}_{2} com a base ordenada \mathcal{B}=\left\{3,2 t,-t^{2}\right\}. Determine o vetor p \in V cujas componentes em relação a \mathcal{B} são 2,-2 e 3 .

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial V=\mathcal{P}_{2}, ou seja, polinômios com grau até 2.
  • A base ordenada \mathcal{B}=\{\,3,\;2t,\;-t^{2}\,\}. Vou nomear os vetores da base como b_{1}=3,\qquad b_{2}=2t,\qquad b_{3}=-t^{2}.
  • As componentes de um vetor p\in V em relação a \mathcal{B} são 2,\,-2,\,3 (na ordem correspondente à base ordenada).
O que é pedido: determinar o polinômio p\in\mathcal{P}_{2} que tem essas componentes em relação a \mathcal{B}.

Passo 2

Entendendo o que significa “componentes em relação à base”: se as componentes de p em relação a \mathcal{B} são 2,\,-2,\,3, isso quer dizer que p é a combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes. Em fórmula:
p = 2\,b_{1} + (-2)\,b_{2} + 3\,b_{3}.
Aqui cada b_{i} é um polinômio e os números 2,-2,3 são escalares que multiplicam esses polinômios.

Passo 3

Substituindo os b_{i} pelos polinômios dados pela base:
p = 2\cdot 3 + (-2)\cdot(2t) + 3\cdot(-t^{2}).
Agora vou calcular cada termo separadamente, mostrando passo a passo:
2\cdot 3 = 6,
(-2)\cdot(2t) = -4t,
3\cdot(-t^{2}) = -3t^{2}.

Passo 4

Somando os termos (adição de polinômios consiste em somar coeficientes de mesmas potências de t):
p = 6 + (-4t) + (-3t^{2}).
Organizando em ordem decrescente dos graus (forma padrão):
p = -3t^{2} - 4t + 6.

Passo 5

Verificação rápida (para me deixar mais confiante): reconstruindo a combinação com esse p obtém-se exatamente os coeficientes originais, pois foi obtido por soma direta dos termos gerados pelos componentes 2,\,-2,\,3. Tudo coerente.

Resposta

p(t) = -3t^{2} - 4t + 6

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