- Seja
com a base ordenada
. Determine o vetor
cujas componentes em relação a
são
e 3 .
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
, ou seja, polinômios com grau até . - A base ordenada
. Vou nomear os vetores da base como - As componentes de um vetor
em relação a são (na ordem correspondente à base ordenada).
O que é pedido: determinar o polinômio
que tem essas componentes em relação a
.
Passo 2
Entendendo o que significa “componentes em relação à base”: se as componentes de
em relação a
são
, isso quer dizer que
é a combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes. Em fórmula:
Aqui cada
é um polinômio e os números
são escalares que multiplicam esses polinômios.
Passo 3
Substituindo os
pelos polinômios dados pela base:
Agora vou calcular cada termo separadamente, mostrando passo a passo:
Passo 4
Somando os termos (adição de polinômios consiste em somar coeficientes de mesmas potências de
):
Organizando em ordem decrescente dos graus (forma padrão):
Passo 5
Verificação rápida (para me deixar mais confiante): reconstruindo a combinação com esse
obtém-se exatamente os coeficientes originais, pois foi obtido por soma direta dos termos gerados pelos componentes
. Tudo coerente.