Questão 13 . Considere os planos descritos pelas equações
2 x+3 y+z=1
3 x-2 y+z=2
x+a y+z=b
onde a e b são números reais.
a) Indique um par específico de valores para a e b, de modo que os planos descritos se interceptem em mais de um ponto.
b) Considerando a=1 e b=0, obtenha o(s) ponto (s) em que os planos descritos de interceptam.
Passo 1
O enunciado dá três planos em \mathbb{R}^3:
2x+3y+z=1,\quad 3x-2y+z=2,\quad x+a y+z=b,
onde a,b\in\mathbb{R}.
Conteúdo: interseção de planos via sistemas lineares.
(a) Queremos que haja mais de um ponto de interseção (ou seja, infinitos), o que ocorre se o terceiro plano for combinação linear dos dois primeiros.
(b) Com a=1 e b=0, resolvemos o sistema para achar o(s) ponto(s) comum.
Passo 2
Para (a), suponha que existam \alpha,\beta tais que
\alpha\,(2,3,1)+\beta\,(3,-2,1)=(1,a,1)
e, ao mesmo tempo,
\alpha\cdot1+\beta\cdot2=b.
Das componentes em z vem
\alpha+\beta=1.
Das componentes em x vem
2\alpha+3\beta=1.
Das componentes em y teremos
3\alpha-2\beta=a,
e do termo independente
\alpha+\;2\beta=b.
Passo 3
Da primeira equação \beta=1-\alpha. Substituindo em