Questão 13 . Considere os planos descritos pelas equações
  • 2 x+3 y+z=1
  • 3 x-2 y+z=2
  • x+a y+z=b
    onde a e b são números reais.
    a) Indique um par específico de valores para a e b, de modo que os planos descritos se interceptem em mais de um ponto.
    b) Considerando a=1 e b=0, obtenha o(s) ponto (s) em que os planos descritos de interceptam.

Passo 1

O enunciado dá três planos em \mathbb{R}^3:
2x+3y+z=1,\quad 3x-2y+z=2,\quad x+a y+z=b,
onde a,b\in\mathbb{R}.
Conteúdo: interseção de planos via sistemas lineares.
(a) Queremos que haja mais de um ponto de interseção (ou seja, infinitos), o que ocorre se o terceiro plano for combinação linear dos dois primeiros.
(b) Com a=1 e b=0, resolvemos o sistema para achar o(s) ponto(s) comum.

Passo 2

Para (a), suponha que existam \alpha,\beta tais que
\alpha\,(2,3,1)+\beta\,(3,-2,1)=(1,a,1)
e, ao mesmo tempo,
\alpha\cdot1+\beta\cdot2=b.
Das componentes em z vem
\alpha+\beta=1.
Das componentes em x vem
2\alpha+3\beta=1.
Das componentes em y teremos
3\alpha-2\beta=a,
e do termo independente
\alpha+\;2\beta=b.

Passo 3

Da primeira equação \beta=1-\alpha. Substituindo em
2\alpha+3(1-\alpha)=1
obtém-se
2\alpha+3-3\alpha=1\implies -\alpha=-2\implies \alpha=2,\quad \beta=-1.
Logo
a=3\alpha-2\beta=6+2=8,
b=\alpha+2\beta=2-2=0.
Assim, um par que faz interseção infinita é
(a,b)=(8,0).

Passo 4

Para (b), tome a=1 e b=0. O sistema dos três planos é
2x+3y+z=1,
3x-2y+z=2,
x+y+z=0.
Subtraindo a terceira da primeira:
(2x+3y+z)-(x+y+z)=1-0\implies x+2y=1.
Subtraindo a terceira da segunda:
(3x-2y+z)-(x+y+z)=2-0\implies2x-3y=2.

Passo 5

Resolva o sistema
\begin{cases} x+2y=1,\\\\ 2x-3y=2. \end{cases}
Da primeira, x=1-2y. Substituindo na segunda:
2(1-2y)-3y=2\implies2-4y-3y=2\implies -7y=0\implies y=0,\quad x=1.
Então, em x+y+z=0 vem
1+0+z=0\implies z=-1.

Resposta

a) (a,b)=(8,0).
b) Ponto de interseção único: (1,0,-1).

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