Em cada item, identificar e esboçar a cônica dada pela equação: x^{2}+2 y^{2}-4 x-4 y-2=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos que tipo de cônica é dada pela equação
x^{2} + 2y^{2} - 4x - 4y - 2 = 0
e, em seguida, fazermos um esboço. O conteúdo que vamos usar é o de classificação de cônicas por meio do completamento de quadrados, para chegar à forma canônica.

Passo 2

Agrupamos termos em x e y e completamos quadrados:
x^{2} - 4x + 2y^{2} - 4y - 2 = 0.
Escrevendo
x^{2} - 4x + 4 \;-\; 4 \;+\;2\bigl(y^{2} - 2y +1\bigr)\;-\;2\cdot1\;-\;2 \;=\;0
\bigl(x-2\bigr)^{2} - 4 + 2\bigl(y-1\bigr)^{2} - 2 - 2 = 0
\bigl(x-2\bigr)^{2} + 2\bigl(y-1\bigr)^{2} - 8 = 0
\bigl(x-2\bigr)^{2} + 2\bigl(y-1\bigr)^{2} = 8.

Passo 3

Dividindo por 8, obtemos a forma canônica
\frac{(x-2)^{2}}{8} \;+\;\frac{(y-1)^{2}}{4} \;=\;1.
Como os dois denominadores são positivos e distintos, trata-se de uma elipse. O centro é (2,1), e os semi-eixos valem
a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \quad\text{(eixo maior na direção \(x\))}, \qquad b = \sqrt{4} = 2 \quad\text{(eixo menor na direção \(y\))}.çãçã

Passo 4

Para esboçar, marcamos no plano:
– Centro em (2,1).
– Vértices principais em \bigl(2\pm2\sqrt{2},\,1\bigr).
– Vértices secundários em \bigl(2,\,1\pm2\bigr).
Unimos esses pontos com uma curva fechada suave, obtendo a elipse orientada paralelamente aos eixos.

Resposta

A cônica é uma elipse cuja forma canônica é
\frac{(x-2)^{2}}{8} \;+\;\frac{(y-1)^{2}}{4} = 1,
com centro em (2,1), semi-eixo maior a = 2\sqrt{2} ao longo de x e semi-eixo menor b = 2 ao longo de y.

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