Questão 13. Um corpo de prova, de aço, possui uma seção transversal retangular com 20 mm de largura e 40 mm de espessura, um módulo de cisalhamento de 207 GPa, e um coeficiente de Poisson de 0,30 . Se esse corpo de prova for tensionado em tração com uma força de
60.000 N , qual será a variação na largura se a deformação for totalmente elástica?
(A) Aumento na largura de 3,62310-6 \mathrm{~m}
(B) Diminuição na largura de 7,24310-6 \mathrm{~m}
(C) Aumento na largura de 7,24310-6 \mathrm{~m}
(D) Diminuição na largura de 2,18310-6 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e faz a seguinte pergunta:
  • Largura inicial do corpo de prova: 20\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura (ou altura) da seção transversal: 40\\ \mathrm{mm}.
  • Força de tração aplicada: 60\,000\\ \mathrm{N}.
  • Um módulo dado: 207\\ \mathrm{GPa} (o enunciado diz “módulo de cisalhamento”, veja observação no Passo 2).
  • Coeficiente de Poisson: 0,30.
  • Pede-se: qual será a variação na largura (ou seja, a variação do dimensionamento de 20\\ \mathrm{mm}) se a deformação for totalmente elástica?
Observação: as alternativas oferecidas são (A), (B), (C), (D) conforme o enunciado.

Passo 2

Antes de começar os cálculos: há uma ambiguidade importante a notar. O enunciado escreve "módulo de cisalhamento de 207\\ \mathrm{GPa}". Tipicamente, para o aço o módulo de Young (módulo de elasticidade) E é aproximadamente 200\\ \mathrm{GPa} e o módulo de cisalhamento G é bem menor (em torno de 80\\ \mathrm{GPa}). As alternativas numéricas desta questão coincidem com o resultado obtido se interpretarmos 207\\ \mathrm{GPa} como sendo o módulo de Young E, e não G. Seguirei, portanto, a interpretação prática que permite comparar com as alternativas: tratarei 207\\ \mathrm{GPa} como E (módulo de elasticidade). Essa escolha é justificada porque é a interpretação que torna a questão consistente com as alternativas. Se alguém insistir que seja G, o procedimento mudaria (seria necessário converter para E por meio de E=2G(1+\nu)), mas isso não bate com as opções. Vamos em frente com E=207\\ \mathrm{GPa}.

Passo 3

Conceitos básicos (passando a aula rápida):
  • Tensão (stress) uniaxial \sigma é a força dividida pela área da seção transversal:
\sigma = \frac{F}{A},
onde F é a força (em \mathrm{N}) e A é a área (em \mathrm{m}^2).
  • Deformação longitudinal (axial) em regime elástico linear segue a lei de Hooke:
\varepsilon_{\text{long}} = \frac{\sigma}{E},
onde E é o módulo de Young (módulo de elasticidade).
  • Coeficiente de Poisson \nu relaciona a deformação transversal com a deformação longitudinal:
\varepsilon_{\text{trans}} = -\nu\,\varepsilon_{\text{long}}.
Sinal negativo indica que, sob tração (alongamento), a peça tende a se contrair nas direções transversais.
  • Variação linear de uma dimensão L é \Delta L = \varepsilon \, L.

Passo 4

Converter unidades e calcular a área da seção transversal:
  • Largura inicial: 20\\ \mathrm{mm} = 0,02\\ \mathrm{m}.
  • Espessura: 40\\ \mathrm{mm} = 0,04\\ \mathrm{m}.
  • Área:
A = 0,02\\ \mathrm{m} \times 0,04\\ \mathrm{m} = 0,0008\\ \mathrm{m}^2 = 8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular a tensão axial \sigma:
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{60\,000\\ \mathrm{N}}{8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2}.
Fazendo a divisão:
\sigma = 75{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 75\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Usar a lei de Hooke para obter a deformação longitudinal \varepsilon_{\text{long}}.
Tomando E = 207\\ \mathrm{GPa} = 207\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
\varepsilon_{\text{long}} = \frac{\sigma}{E} = \frac{75\times10^{6}}{207\times10^{9}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{75}{207} \approx 0{,}3623188,
portanto
\varepsilon_{\text{long}} \approx 0{,}3623188\times10^{-3} = 3{,}623188\times10^{-4}.

Passo 7

Calcular a deformação transversal usando o coeficiente de Poisson \nu=0{,}30:
\varepsilon_{\text{trans}} = -\nu\,\varepsilon_{\text{long}} = -0{,}30\times 3{,}623188\times10^{-4}.
Fazendo a multiplicação:
\varepsilon_{\text{trans}} \approx -1{,}086956\times10^{-4}.

Passo 8

Agora obter a variação absoluta na largura \Delta w. A largura inicial é w_0 = 0{,}02\\ \mathrm{m}. Então
\Delta w = \varepsilon_{\text{trans}}\; w_{0} = -1{,}086956\times10^{-4}\times 0{,}02\\ \mathrm{m}.
Calculando:
\Delta w \approx -2{,}173912\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
O sinal negativo indica diminuição na largura.

Passo 9

Comparação com as alternativas: a alternativa mais próxima é a (D) que diz "Diminuição na largura de 2{,}183\times10^{-6}\\ \mathrm{m}". A diferença é apenas de algumas unidades de 10^{-9}\\ \mathrm{m} por arredondamento, portanto a melhor escolha é a alternativa (D).

Resposta

(D) Diminuição na largura de 2{,}183\times10^{-6}\\ \mathrm{m}

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