Questão 13. Um corpo de prova, de aço, possui uma seção transversal retangular com 20 mm de largura e 40 mm de espessura, um módulo de cisalhamento de 207 GPa, e um coeficiente de Poisson de 0,30 . Se esse corpo de prova for tensionado em tração com uma força de
60.000 N , qual será a variação na largura se a deformação for totalmente elástica?
(A) Aumento na largura de
(B) Diminuição na largura de
(C) Aumento na largura de
(D) Diminuição na largura de
60.000 N , qual será a variação na largura se a deformação for totalmente elástica?
(A) Aumento na largura de
(B) Diminuição na largura de
(C) Aumento na largura de
(D) Diminuição na largura de
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e faz a seguinte pergunta:
- Largura inicial do corpo de prova:
. - Espessura (ou altura) da seção transversal:
. - Força de tração aplicada:
. - Um módulo dado:
(o enunciado diz “módulo de cisalhamento”, veja observação no Passo 2). - Coeficiente de Poisson:
. - Pede-se: qual será a variação na largura (ou seja, a variação do dimensionamento de
) se a deformação for totalmente elástica?
Observação: as alternativas oferecidas são (A), (B), (C), (D) conforme o enunciado.
Passo 2
Antes de começar os cálculos: há uma ambiguidade importante a notar. O enunciado escreve "módulo de cisalhamento de
". Tipicamente, para o aço o módulo de Young (módulo de elasticidade)
é aproximadamente
e o módulo de cisalhamento
é bem menor (em torno de
). As alternativas numéricas desta questão coincidem com o resultado obtido se interpretarmos
como sendo o módulo de Young
, e não
. Seguirei, portanto, a interpretação prática que permite comparar com as alternativas: tratarei
como
(módulo de elasticidade). Essa escolha é justificada porque é a interpretação que torna a questão consistente com as alternativas. Se alguém insistir que seja
, o procedimento mudaria (seria necessário converter para
por meio de
), mas isso não bate com as opções. Vamos em frente com
.
Passo 3
Conceitos básicos (passando a aula rápida):
- Tensão (stress) uniaxial
é a força dividida pela área da seção transversal:
onde
é a força (em
) e
é a área (em
).
- Deformação longitudinal (axial) em regime elástico linear segue a lei de Hooke:
onde
é o módulo de Young (módulo de elasticidade).
- Coeficiente de Poisson
relaciona a deformação transversal com a deformação longitudinal:
Sinal negativo indica que, sob tração (alongamento), a peça tende a se contrair nas direções transversais.
- Variação linear de uma dimensão
é .
Passo 4
Converter unidades e calcular a área da seção transversal:
- Largura inicial:
. - Espessura:
. - Área:
Passo 5
Calcular a tensão axial
:
Fazendo a divisão:
Passo 6
Usar a lei de Hooke para obter a deformação longitudinal
.
Tomando ,
Tomando
Calculemos passo a passo:
portanto
Passo 7
Calcular a deformação transversal usando o coeficiente de Poisson
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 8
Agora obter a variação absoluta na largura
. A largura inicial é
. Então
Calculando:
O sinal negativo indica diminuição na largura.
Passo 9
Comparação com as alternativas: a alternativa mais próxima é a (D) que diz "Diminuição na largura de
". A diferença é apenas de algumas unidades de
por arredondamento, portanto a melhor escolha é a alternativa (D).
Resposta
(D) Diminuição na largura de