Questão 14. Considere um monocristal de algum metal hipotético com estrutura cristalina CCC, orientado de tal forma que uma tensão de tração é aplicada ao longo da direção [121]. Se o escorregamento ocorre no plano (101) e na direção [111], calcule a tensão na qual o cristal escoa se a sua tensão de cisalhamento resolvida crítica é de 2,4 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede a tensão de tração uniaxial \sigma aplicada ao cristal que provoca escoamento, sabendo que o escorregamento ocorre no plano (101) ao longo da direção [111] e que a tensão de cisalhamento resolvida crítica (TCR) é \,2{,}4\\ \mathrm{MPa}.
Informações dadas:
  • Tensão de cisalhamento resolvida crítica: \tau_\text{cr} = 2{,}4\\ \mathrm{MPa}.
  • Direção da tração: [121].
  • Direção de escorregamento (slip direction): [111].
  • Plano de escorregamento: (101).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e direta): a Lei de Schmid diz que a tensão de cisalhamento resolvida \tau sobre o sistema de escorregamento (plano + direção) causado por uma tensão uniaxial \sigma é
\tau = \sigma \, \cos\varphi \, \cos\lambda,
onde:
  • \varphi é o ângulo entre o eixo de tração e a normal do plano de escorregamento;
  • \lambda é o ângulo entre o eixo de tração e a direção de escorregamento.
    No escoamento, \tau atinge \tau_\text{cr}, logo a tensão de escoamento é
\sigma = \frac{\tau_\text{cr}}{\cos\varphi\,\cos\lambda}.
Aqui o papel é calcular \cos\varphi e \cos\lambda usando produtos escalares entre vetores cristalográficos (transformamos índices de Miller em vetores).

Passo 3

Transformar os índices em vetores e escolher vetores representantes:
  • Direção de tração: [121] → vetor \mathbf{L} = (1,2,1).
  • Direção de escorregamento: [111] → vetor \mathbf{s} = (1,1,1).
  • Plano (101) tem normal \mathbf{n} = (1,0,1).
    Vamos usar esses vetores para calcular ângulos (via produto escalar entre vetores normalizados).

Passo 4

Calcular normas (módulos) dos vetores (passo a passo):
\|\mathbf{L}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}.
\|\mathbf{s}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.

Passo 5

Calcular os cossenos via produto escalar (mostro cada produto):
Produto escalar entre \mathbf{L} e \mathbf{n}:
\mathbf{L}\cdot\mathbf{n}=1\cdot1+2\cdot0+1\cdot1=2.
Logo
\cos\varphi=\frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{L}\|\,\|\mathbf{n}\|} =\frac{2}{\sqrt{6}\,\sqrt{2}}.
Simplificando \sqrt{6}\sqrt{2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}, temos
\cos\varphi=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Produto escalar entre \mathbf{L} e \mathbf{s}:
\mathbf{L}\cdot\mathbf{s}=1\cdot1+2\cdot1+1\cdot1=4.
Logo
\cos\lambda=\frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{s}}{\|\mathbf{L}\|\,\|\mathbf{s}\|} =\frac{4}{\sqrt{6}\,\sqrt{3}}.
Como \sqrt{6}\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}, podemos escrever
\cos\lambda=\frac{4}{3\sqrt{2}}.

Passo 6

Calcular o fator de Schmid m=\cos\varphi\cos\lambda com simplificação algébrica:
m=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{6}}.
Valor numérico aproximado:
m\approx 0{,}544331\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Usar a Lei de Schmid invertida para obter \sigma:
\sigma=\frac{\tau_\text{cr}}{m}=\tau_\text{cr}\cdot\frac{3\sqrt{6}}{4}.
Substituindo \tau_\text{cr}=2{,}4\\ \mathrm{MPa}:
\sigma=2{,}4\cdot\frac{3\sqrt{6}}{4}=\;1{,}8\sqrt{6}\\ \mathrm{MPa}.
Calculemos numericamente \sqrt{6}\approx 2{,}4494897:
\sigma\approx 1{,}8\times 2{,}4494897 \approx 4{,}41\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Comentário final curto e motivador: portanto, com a geometria cristalográfica dada o fator de Schmid é relativamente grande ( \approx0{,}544), então a tensão de tração necessária para escoar é apenas um pouco maior que a TCR: cerca de 4{,}41\\ \mathrm{MPa}. Você conseguiu — passo a passo dá para refazer na prova!

Resposta

\sigma \approx 4{,}41\\ \mathrm{MPa}

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