Questão 4.13 Um jato atinge uma placa inclinada fixa, ele se parte dois através das seções 2 e 3 , de iguais velocidades
mas em diferentes vazões
Q na seção 2 e ( 1 -
) Q na seção 3 , sendo
. Isso ocorre porque, para escamento sem atrito, fluido não pode exercer uma força tangencial
sobre a placa. Assim sendo, faça a análise das forças envolvidas, considere
e determine:
a) α em função de
e explique porque
não depende das propriedades do jato.
b)
em função dos dados do problema e explique como determinar o ponto de aplicação da força
ao longo da placa. Resp.:
.
a) α em função de
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei tudo do enunciado que você me passou).
- Um jato de fluido de vazão volumétrica
, massa específica e velocidade de módulo incide sobre uma placa fixa inclinada. - O jato se parte em duas correntes após a chapa: na seção 2 sai a fração
e na seção 3 sai a fração . - As duas correntes saem com o mesmo módulo de velocidade igual a
(ou seja, as velocidades têm módulo mas direções diferentes). - O escoamento é sem atrito (inviscid), logo a placa não sente força tangencial:
. - A inclinação da placa em relação à direção do jato é dada por
(ângulo entre a direção do jato incidente e a direção tangente à placa).
O enunciado pede:
(a) determinar em função de
e explicar por que
não depende das propriedades do jato;
(b) determinar a força normal em função dos dados do problema e explicar como determinar o ponto de aplicação de
ao longo da placa.
(a) determinar
(b) determinar a força normal
Passo 2
Conceito físico e ferramenta que vamos usar (pequena aula): balanço de quantidade de movimento linear (momentum) num volume de controle em regime permanente.
- Regra geral (teorema do momentum, forma integral, para regime permanente e sem acelerações do volume de controle):
onde
é a vazão mássica
.
-
Aqui escolhemos um volume de controle que englobe a região onde o jato incide e se divide, com superfícies de entrada (o jato incidente) e de saída (seções 2 e 3). As forças externas sobre o controle são a força que a placa exerce sobre o fluido; pela 3ª lei, a força exercida pelo fluido sobre a placa é o oposto dessa força.
-
Como o escoamento é sem atrito, a força tangencial da placa sobre o fluido é nula:
. Assim, fazendo balanço de momentum na direção tangencial à placa teremos uma equação útil para achar . Para achar a força normal usamos o balanço de momentum na direção normal à placa.
Passo 3
Escolha de eixos e decomposição geométrica (importante para projetar vetores):
- Seja a direção do jato incidente o eixo
positivo; a velocidade do jato incidente é . - Defina o versor tangente à placa (direção ao longo da placa) por
isto é, a placa faz ângulo
com a direção
.
- Defina o versor normal à placa (perpendicular) por
de modo que
.
- Projeções importantes:
As duas correntes de saída seguem as direções
(uma ao longo de
com fração
e outra ao longo de
com fração
), e cada uma tem módulo de velocidade
. Portanto as projeções das velocidades de saída sobre
são
e
, e sobre
são
(porque saem tangentes à placa).
Passo 4
Balanço de momentum na direção tangencial
— aqui vem a dedução de
.
- Vazão mássica total:
. - Momento por unidade de tempo entrando na direção
(sinal): entrada tem componente . - Momento por unidade de tempo saindo na direção
: soma das contribuições das duas correntes:
- Como não existe força tangencial da placa sobre o fluido (
), o balanço na direção exige que a diferença saída - entrada seja zero, ou mais diretamente que a soma dos momentos de entrada e saída equilibre-se:
- Cancela-se
(assumindo fluxo não-nulo) e obtém-se uma expressão puramente geométrica:
Comentário didático e intuição: a equação anterior mostra explicitamente por que
não depende de propriedades do jato (
,
,
cancelam). A divisão do fluxo entre os dois ramos depende apenas da componente tangencial da velocidade incidente (geometria), porque a placa não aplica força tangencial. Então só a geometria (ângulo
) determina a fração que vai para cada lado.
Passo 5
Balanço de momentum na direção normal
— cálculo da magnitude da força normal
.
- Projeção da velocidade incidente sobre
é . - As velocidades de saída são tangentes à placa, logo têm projeção nula sobre
. - Taxa de variação de momento normal do fluido (saídas menos entradas):
- Pelo teorema do momentum, a força resultante exercida pelo fluido sobre o ambiente (a placa) na direção
é igual a essa taxa de variação de momento. A força que a placa exerce sobre o fluido nessa direção é o oposto; portanto a magnitude da força normal sobre a placa é
Observação sobre o sinal: a expressão acima dá a magnitude. Se for necessário o sentido (vetor), a força sobre a placa aponta no sentido oposto à mudança de momento do fluido naquela direção (isto é, empurra a placa no sentido em que o fluido perde componente normal).
Passo 6
Como determinar o ponto de aplicação da força normal
ao longo da placa (explicação prática, passo a passo):
- Escolher um ponto de referência na placa (por exemplo a interseção da placa com a linha de centro do jato ou uma extremidade).
- Aplicar o balanço de momentos (momento do momentum) em regime permanente: a soma dos momentos (torques) das forças externas em relação ao ponto de referência deve igualar a taxa de variação do momento angular do fluido em relação a esse ponto.
- Para um jato com seção de entrada cuja linha de ação tem posição conhecida (centro geométrico do jato), calcula-se o momento que a vazão mássica traz à entrada:
onde
é o vetor posição do centro do jato relativamente ao ponto de referência.
4. Calcula-se também os momentos das correntes de saída (seus centros de área e suas velocidades): e
.
5. A soma vetorial dos momentos de saída menos o momento de entrada deve ser equilibrada pelo momento das forças externas (aqui apenas a força normal resultante, já que , mais eventualmente reações de apoio se a placa não for simplesmente apoiada):
4. Calcula-se também os momentos das correntes de saída (seus centros de área e suas velocidades):
5. A soma vetorial dos momentos de saída menos o momento de entrada deve ser equilibrada pelo momento das forças externas (aqui apenas a força normal resultante, já que
onde
é o vetor posição do ponto de aplicação da força resultante na placa (medido a partir do mesmo ponto de referência).
6. Como é perpendicular à placa (ou tem conhecida direção), essa equação escalar permite resolver para a distância (alavanca)
ao longo da placa tal que
iguale o momento calculado do lado direito. Em problemas práticos, normalmente assume-se que as seções de saída têm centros conhecidos (ou despreza-se largura do jato e toma-se a linha de impacto), e com esses dados obtém-se a posição
.
6. Como
Resumo prático: usa-se balanço de momentos (equivalente ao balanço de momentum angular) para achar a linha de ação da resultante: calcule momento do momentum das entradas/saídas em torno de um ponto e iguale ao momento da força resultante; isola-se a distância da linha de ação.