Questão 4.13 Um jato atinge uma placa inclinada fixa, ele se parte dois através das seções 2 e 3 , de iguais velocidades \mathrm{V}=\mathrm{V}_{\text {jato, }} mas em diferentes vazões \alpha Q na seção 2 e ( 1 - \alpha ) Q na seção 3 , sendo 0<\alpha<1. Isso ocorre porque, para escamento sem atrito, fluido não pode exercer uma força tangencial F_{t} sobre a placa. Assim sendo, faça a análise das forças envolvidas, considere \mathrm{F}_{\mathrm{t}} e determine:
a) α em função de \theta e explique porque \alpha não depende das propriedades do jato.
b) \mathrm{F}_{\mathrm{n}} em função dos dados do problema e explique como determinar o ponto de aplicação da força \mathrm{F}_{\mathrm{n}} ao longo da placa. Resp.: \alpha=(1+\operatorname{Cos} \theta) / 2 ; F_{n}=\rho Q A \vee \operatorname{Sen}(\theta).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei tudo do enunciado que você me passou).
  • Um jato de fluido de vazão volumétrica Q, massa específica \rho e velocidade de módulo V incide sobre uma placa fixa inclinada.
  • O jato se parte em duas correntes após a chapa: na seção 2 sai a fração \alpha Q e na seção 3 sai a fração (1-\alpha)Q.
  • As duas correntes saem com o mesmo módulo de velocidade igual a V (ou seja, as velocidades têm módulo V mas direções diferentes).
  • O escoamento é sem atrito (inviscid), logo a placa não sente força tangencial: F_{t}=0.
  • A inclinação da placa em relação à direção do jato é dada por \theta (ângulo entre a direção do jato incidente e a direção tangente à placa).
O enunciado pede:
(a) determinar \alpha em função de \theta e explicar por que \alpha não depende das propriedades do jato;
(b) determinar a força normal \,F_{n}\, em função dos dados do problema e explicar como determinar o ponto de aplicação de \,F_{n} ao longo da placa.

Passo 2

Conceito físico e ferramenta que vamos usar (pequena aula): balanço de quantidade de movimento linear (momentum) num volume de controle em regime permanente.
  • Regra geral (teorema do momentum, forma integral, para regime permanente e sem acelerações do volume de controle):
\sum \mathbf{F}_{\text{ext}} = \sum_{\text{saídas}} \dot m\,\mathbf{V}_{\text{saída}} - \sum_{\text{entradas}} \dot m\,\mathbf{V}_{\text{entrada}},íí
onde \dot m é a vazão mássica \dot m=\rho Q.
  • Aqui escolhemos um volume de controle que englobe a região onde o jato incide e se divide, com superfícies de entrada (o jato incidente) e de saída (seções 2 e 3). As forças externas sobre o controle são a força que a placa exerce sobre o fluido; pela 3ª lei, a força exercida pelo fluido sobre a placa é o oposto dessa força.
  • Como o escoamento é sem atrito, a força tangencial da placa sobre o fluido é nula: F_{t}=0. Assim, fazendo balanço de momentum na direção tangencial à placa teremos uma equação útil para achar \alpha. Para achar a força normal usamos o balanço de momentum na direção normal à placa.

Passo 3

Escolha de eixos e decomposição geométrica (importante para projetar vetores):
  • Seja a direção do jato incidente o eixo x positivo; a velocidade do jato incidente é \mathbf{V}_{\text{in}}=V\,\mathbf{i}.
  • Defina o versor tangente à placa (direção ao longo da placa) por
\mathbf{t}=(\cos\theta,\;\sin\theta),
isto é, a placa faz ângulo \theta com a direção x.
  • Defina o versor normal à placa (perpendicular) por
\mathbf{n}=(-\sin\theta,\;\cos\theta),
de modo que \mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0.
  • Projeções importantes:
\mathbf{V}_{\text{in}}\cdot\mathbf{t}=V\cos\theta, \qquad \mathbf{V}_{\text{in}}\cdot\mathbf{n}=-V\sin\theta.
As duas correntes de saída seguem as direções \pm\mathbf{t} (uma ao longo de \mathbf{t} com fração \alpha Q e outra ao longo de -\mathbf{t} com fração (1-\alpha)Q), e cada uma tem módulo de velocidade V. Portanto as projeções das velocidades de saída sobre \mathbf{t} são +V e -V, e sobre \mathbf{n} são 0 (porque saem tangentes à placa).

Passo 4

Balanço de momentum na direção tangencial \mathbf{t} — aqui vem a dedução de \alpha.
  • Vazão mássica total: \dot m=\rho Q.
  • Momento por unidade de tempo entrando na direção \mathbf{t} (sinal): entrada tem componente \dot m(\mathbf{V}_{\text{in}}\cdot\mathbf{t})=\rho Q V\cos\theta.
  • Momento por unidade de tempo saindo na direção \mathbf{t}: soma das contribuições das duas correntes:
\dot m_{2}(\mathbf{V}_{2}\cdot\mathbf{t})+\dot m_{3}(\mathbf{V}_{3}\cdot\mathbf{t}) = \rho(\alpha Q)\,V + \rho((1-\alpha)Q)\,(-V) = \rho Q V(2\alpha-1).
  • Como não existe força tangencial da placa sobre o fluido ( F_{t}=0), o balanço na direção \mathbf{t} exige que a diferença saída - entrada seja zero, ou mais diretamente que a soma dos momentos de entrada e saída equilibre-se:
\rho Q V(2\alpha-1) = \rho Q V\cos\theta.
  • Cancela-se \rho Q V (assumindo fluxo não-nulo) e obtém-se uma expressão puramente geométrica:
2\alpha-1=\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{1+\cos\theta}{2}.
Comentário didático e intuição: a equação anterior mostra explicitamente por que \alpha não depende de propriedades do jato ( \rho, Q, V cancelam). A divisão do fluxo entre os dois ramos depende apenas da componente tangencial da velocidade incidente (geometria), porque a placa não aplica força tangencial. Então só a geometria (ângulo \theta) determina a fração que vai para cada lado.

Passo 5

Balanço de momentum na direção normal \mathbf{n} — cálculo da magnitude da força normal \,F_{n}.
  • Projeção da velocidade incidente sobre \mathbf{n} é \mathbf{V}_{\text{in}}\cdot\mathbf{n}=-V\sin\theta.
  • As velocidades de saída são tangentes à placa, logo têm projeção nula sobre \mathbf{n}.
  • Taxa de variação de momento normal do fluido (saídas menos entradas):
\sum_{\text{saídas}} \dot m\,(\mathbf{V}\cdot\mathbf{n}) - \dot m\,(\mathbf{V}_{\text{in}}\cdot\mathbf{n}) = 0 - \rho Q(-V\sin\theta)=\rho Q V\sin\theta.í
  • Pelo teorema do momentum, a força resultante exercida pelo fluido sobre o ambiente (a placa) na direção \mathbf{n} é igual a essa taxa de variação de momento. A força que a placa exerce sobre o fluido nessa direção é o oposto; portanto a magnitude da força normal sobre a placa é
F_{n}=\rho Q V\sin\theta.
Observação sobre o sinal: a expressão acima dá a magnitude. Se for necessário o sentido (vetor), a força sobre a placa aponta no sentido oposto à mudança de momento do fluido naquela direção (isto é, empurra a placa no sentido em que o fluido perde componente normal).

Passo 6

Como determinar o ponto de aplicação da força normal \,F_{n} ao longo da placa (explicação prática, passo a passo):
  1. Escolher um ponto de referência na placa (por exemplo a interseção da placa com a linha de centro do jato ou uma extremidade).
  2. Aplicar o balanço de momentos (momento do momentum) em regime permanente: a soma dos momentos (torques) das forças externas em relação ao ponto de referência deve igualar a taxa de variação do momento angular do fluido em relação a esse ponto.
  3. Para um jato com seção de entrada cuja linha de ação tem posição conhecida (centro geométrico do jato), calcula-se o momento que a vazão mássica traz à entrada:
\mathbf{M}_{\text{in}}=\mathbf{r}_{\text{in}}\times(\rho Q\mathbf{V}_{\text{in}}),
onde \mathbf{r}_{\text{in}} é o vetor posição do centro do jato relativamente ao ponto de referência.
4. Calcula-se também os momentos das correntes de saída (seus centros de área e suas velocidades): \mathbf{M}_{2}=\mathbf{r}_{2}\times(\rho\alpha Q\mathbf{V}_{2}) e \mathbf{M}_{3}=\mathbf{r}_{3}\times(\rho(1-\alpha)Q\mathbf{V}_{3}).
5. A soma vetorial dos momentos de saída menos o momento de entrada deve ser equilibrada pelo momento das forças externas (aqui apenas a força normal resultante, já que F_{t}=0, mais eventualmente reações de apoio se a placa não for simplesmente apoiada):
\mathbf{r}_{F}\times \mathbf{F}_{n} = \mathbf{M}_{\text{saídas}} - \mathbf{M}_{\text{entrada}},í
onde \mathbf{r}_{F} é o vetor posição do ponto de aplicação da força resultante na placa (medido a partir do mesmo ponto de referência).
6. Como \mathbf{F}_{n} é perpendicular à placa (ou tem conhecida direção), essa equação escalar permite resolver para a distância (alavanca) \,x ao longo da placa tal que F_{n}\,x iguale o momento calculado do lado direito. Em problemas práticos, normalmente assume-se que as seções de saída têm centros conhecidos (ou despreza-se largura do jato e toma-se a linha de impacto), e com esses dados obtém-se a posição x.
Resumo prático: usa-se balanço de momentos (equivalente ao balanço de momentum angular) para achar a linha de ação da resultante: calcule momento do momentum das entradas/saídas em torno de um ponto e iguale ao momento da força resultante; isola-se a distância da linha de ação.

Resposta

\displaystyle \alpha=\frac{1+\cos\theta}{2}
\displaystyle F_{n}=\rho Q V\sin\theta

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