(Questão 13 - Seção 3.4 - Magalhães) Suponha que X e Y são variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas, com valores -1 e 1 com mesma probabilidade. Verifique se X e Z=X Y são independentes.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são variáveis aleatórias independentes, cada uma valendo -1 ou 1 com probabilidade 1/2. Definimos a variável Z = X\,Y e queremos saber se X e Z são independentes. Para isso, vamos usar o critério
P(X=x, Z=z) \stackrel{?}{=} P(X=x)\,P(Z=z)
para todo x,z\in\{-1,1\}.

Passo 2

Primeiro obtemos as distribuições marginais. Como X e Y são simétricas,
P(X=1)=\tfrac12,\quad P(X=-1)=\tfrac12.
Como Z=X\,Y e Y também vale \pm1 com probabilidade 1/2, tem-se
P(Z=1)=\tfrac12,\quad P(Z=-1)=\tfrac12.

Passo 3

Agora calculamos a distribuição conjunta. Por independência de X e Y e pela definição Z=X\,Y:
  • Para X=1 e Z=1 é necessário Y=1.
P(X=1, Z=1)=P(X=1, Y=1)=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14.
  • Para X=1 e Z=-1 é necessário Y=-1.
P(X=1, Z=-1)=P(X=1, Y=-1)=\tfrac14.
  • Para X=-1 e Z=1 é necessário Y=-1.
P(X=-1, Z=1)=P(X=-1, Y=-1)=\tfrac14.
  • Para X=-1 e Z=-1 é necessário Y=1.
P(X=-1, Z=-1)=P(X=-1, Y=1)=\tfrac14.

Passo 4

Comparando com o produto das marginais, por exemplo
P(X=1)\,P(Z=1)=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14=P(X=1,Z=1),
e o mesmo vale para todas as combinações de (x,z). Como P(X=x,Z=z)=P(X=x)\,P(Z=z) em todos os casos, concluímos que X e Z são independentes.

Resposta

X e Z são independentes.

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