(Questão 13 - Seção 3.4 - Magalhães) Suponha que
e
são variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas, com valores -1 e 1 com mesma probabilidade. Verifique se
e
são independentes.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são variáveis aleatórias independentes, cada uma valendo
ou
com probabilidade
. Definimos a variável
e queremos saber se
e
são independentes. Para isso, vamos usar o critério
para todo
.
Passo 2
Primeiro obtemos as distribuições marginais. Como
e
são simétricas,
Como
e
também vale
com probabilidade
, tem-se
Passo 3
Agora calculamos a distribuição conjunta. Por independência de
e
e pela definição
:
- Para
e é necessário .
- Para
e é necessário .
- Para
e é necessário .
- Para
e é necessário .
Passo 4
Comparando com o produto das marginais, por exemplo
e o mesmo vale para todas as combinações de
. Como
em todos os casos, concluímos que
e
são independentes.