Considere um círculo de raio R\) e centro na origem, e suponha que um ponto é aleatoriamente selecionado no círculo de tal maneira que qualquer região dentro do círculo de mesma área tem a mesma probabilidade de conter o ponto. Sejam \(X\) e \(Y\) as coordenadas do ponto escolhido. A função de densidade conjunta de \(X\) e \(Y\) é dada por:
\[f(x, y)= \begin{cases}c, & \text { se } x^{2}+y^{2} \leq R^{2} \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Calcule o valor da constante c\].
(b) Encontre as densidades marginais de \(X e de Y.
(c) Encontre a probabilidade de que a distância da origem ao ponto selecionado não seja maior do que a(a>0).
Passo 1
O enunciado descreve um ponto (X,Y) escolhido de modo uniforme em área dentro de um círculo de raio R. Precisamos (a) achar a constante de normalização c da densidade conjunta, (b) obter as densidades marginais f_X e f_Y e (c) calcular P\bigl(\sqrt{X^2+Y^2}\le a\bigr).
Passo 2
Para determinar c usamos a condição de normalização: