Considere um círculo de raio R\) e centro na origem, e suponha que um ponto é aleatoriamente selecionado no círculo de tal maneira que qualquer região dentro do círculo de mesma área tem a mesma probabilidade de conter o ponto. Sejam \(X\) e \(Y\) as coordenadas do ponto escolhido. A função de densidade conjunta de \(X\) e \(Y\) é dada por: \[f(x, y)= \begin{cases}c, & \text { se } x^{2}+y^{2} \leq R^{2} \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Calcule o valor da constante c\]. (b) Encontre as densidades marginais de \(X e de Y.
(c) Encontre a probabilidade de que a distância da origem ao ponto selecionado não seja maior do que a(a>0).

Passo 1

O enunciado descreve um ponto (X,Y) escolhido de modo uniforme em área dentro de um círculo de raio R. Precisamos (a) achar a constante de normalização c da densidade conjunta, (b) obter as densidades marginais f_X e f_Y e (c) calcular P\bigl(\sqrt{X^2+Y^2}\le a\bigr).

Passo 2

Para determinar c usamos a condição de normalização:
\iint_{x^2+y^2\le R^2}f(x,y)\,dx\,dy =\iint_{x^2+y^2\le R^2}c\,dx\,dy =c\cdot\pi R^2 =1.
Logo
c=\frac{1}{\pi R^2}.

Passo 3

A densidade marginal de X é
f_X(x)=\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{+\sqrt{R^2-x^2}}c\,dy =2c\sqrt{R^2-x^2}, \quad -R\le x\le R,
e f_X(x)=0 para |x|>R. Substituindo c,
f_X(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2},&-R\le x\le R,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 4

Pela mesma razão, a densidade marginal de Y é
f_Y(y)=\int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{+\sqrt{R^2-y^2}}c\,dx =2c\sqrt{R^2-y^2}, \quad -R\le y\le R,
e f_Y(y)=0 para |y|>R. Portanto
f_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2\sqrt{R^2-y^2}}{\pi R^2},&-R\le y\le R,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

Definindo r=\sqrt{X^2+Y^2}, a probabilidade de r\le a é a área do disco de raio a vezes c:
P(r\le a) =\iint_{x^2+y^2\le a^2}c\,dx\,dy =c\cdot\pi a^2 =\frac{\pi a^2}{\pi R^2} =\frac{a^2}{R^2}.
Isso vale para 0\le a\le R; se a>R, P(r\le a)=1.

Resposta

(a) \displaystyle c=\frac{1}{\pi R^2}.\) (b) \(\displaystyle f_X(x)= \begin{cases} \frac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2},&-R\le x\le R,\\\\ 0,&\text{caso contrário,} \end{cases} \quad f_Y(y)= \begin{cases} \frac{2\sqrt{R^2-y^2}}{\pi R^2},&-R\le y\le R,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
(c) \displaystyle P\bigl(\sqrt{X^2+Y^2}\le a\bigr)=\frac{a^2}{R^2} para 0\le a\le R (e igual a 1 se a>R).

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