Questão 13. Sejam A anel e a \in A. Mostre que B=\{x \in A: x a=a x\} é um subanel de A.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel A e um elemento fixo a\in A. Definimos \displaystyle B = \{\,x\in A \mid x\,a = a\,x\}.
Queremos mostrar que B é subanel de A, ou seja, que B contém o zero (e, se for subanel unitário, a unidade), e é fechado sob soma, inverso aditivo e produto.

Passo 2

Mostramos que o zero de A pertence a B. Como 0_A\,a = 0_A = a\,0_A, concluímos que 0_A\in B. Se estivermos exigindo subanel unitário, cheque também a unidade: 1_A\,a = a = a\,1_A, logo 1_A\in B.

Passo 3

Verificamos fechadura sob soma. Tomemos x,y\in B. Então
(x+y)\,a = x\,a + y\,a = a\,x + a\,y = a\,(x+y).
Portanto x+y\in B.

Passo 4

Verificamos fechadura sob inverso aditivo. Se x\in B, então x\,a = a\,x. Multiplicando aditivamente por -1,
(-x)\,a = -(x\,a) = -(a\,x) = a\,(-x),
de modo que -x\in B.

Passo 5

Verificamos fechadura sob produto. Para x,y\in B temos
(xy)\,a = x\,(y\,a) = x\,(a\,y) = (x\,a)\,y = (a\,x)\,y = a\,(x\,y),
logo xy\in B.

Resposta

B é subanel de A.

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