QUESTÃO 14. Calcule a integral \int_{0}^{3}\left(3 x^{2}-4 x+1\right) \cdot d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-4x+1\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais de polinômios e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos primeiro encontrar uma primitiva (integração indefinida) e depois avaliar no intervalo de 0 a 3.

Passo 2

Usando linearidade da integral e a regra de potência, encontramos a primitiva F(x):
F(x)=\int\bigl(3x^{2}-4x+1\bigr)\,dx =\int3x^{2}\,dx-\int4x\,dx+\int1\,dx.
Calculando cada termo:
\int3x^{2}\,dx=3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3},\quad \int4x\,dx=4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2},\quad \int1\,dx=x.
Logo,
F(x)=x^{3}-2x^{2}+x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-4x+1\bigr)\,dx =F(3)-F(0).
Calculando:
F(3)=3^{3}-2\cdot3^{2}+3=27-18+3=12, \quad F(0)=0-0+0=0.
Logo,
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-4x+1\bigr)\,dx=12-0=12.

Resposta

12

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