Questão 14. Calcule primitivas de \tan ^{5} x, de \operatorname{sec} ^{6} t e de \tan ^{5} y \operatorname{sec} ^{6} y.

Passo 1

O enunciado pede as primitivas (integrais indefinidas) de \tan^{5}x, de \operatorname{sec}^{6}t e de \tan^{5}y\,\operatorname{sec}^{6}y. O conteúdo principal é integração de potências de funções trigonométricas usando identidades como \tan^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u-1 e substituições adequadas ( u=\operatorname{sec} x ou u=\tan y).

Passo 2

Vamos calcular
\int \tan^{5}x\,dx.
Escrevemos \tan^{5}x=\tan^{4}x\cdot\tan x e usamos \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, logo
\tan^{4}x=(\operatorname{sec}^{2}x-1)^{2}=\operatorname{sec}^{4}x-2\operatorname{sec}^{2}x+1.
Fica
\int \tan^{5}x\,dx =\int (\operatorname{sec}^{4}x-2\operatorname{sec}^{2}x+1)\,\tan x\,dx.
Fazemos a substituição u=\operatorname{sec} x, de onde du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx, isto é \tan x\,dx=du/u. Então
\int \tan^{5}x\,dx =\int \frac{u^{4}-2u^{2}+1}{u}\,du =\int (u^{3}-2u+u^{-1})\,du.
Integrando termo a termo,
\int u^{3}\,du=\tfrac{u^{4}}{4},\quad \int (-2u)\,du=-u^{2},\quad \int u^{-1}\,du=\ln|u|.
Voltando a x,
\int \tan^{5}x\,dx =\frac{\operatorname{sec}^{4}x}{4}-\operatorname{sec}^{2}x+\ln\bigl|\operatorname{sec} x\bigr|+C.

Passo 3

Agora
\int \operatorname{sec}^{6}t\,dt.
Usamos a fórmula de redução para \displaystyle\int \operatorname{sec}^{n}t\,dt:
\int \operatorname{sec}^{n}t\,dt =\frac{\operatorname{sec}^{n-2}t\,\tan t}{n-1} +\frac{n-2}{n-1}\int \operatorname{sec}^{n-2}t\,dt.
Para n=6
\int \operatorname{sec}^{6}t\,dt =\frac{\operatorname{sec}^{4}t\,\tan t}{5} +\frac{4}{5}\int \operatorname{sec}^{4}t\,dt.
Falta \int \operatorname{sec}^{4}t\,dt. Escrevemos \operatorname{sec}^{4}t=(1+\tan^{2}t)\operatorname{sec}^{2}t e fazemos u=\tan t, du=\operatorname{sec}^{2}t\,dt:
\int \operatorname{sec}^{4}t\,dt =\int (1+u^{2})\,du =u+\frac{u^{3}}{3} =\tan t+\frac{\tan^{3}t}{3}+C.
Logo
\int \operatorname{sec}^{6}t\,dt =\frac{\operatorname{sec}^{4}t\,\tan t}{5} +\frac{4}{5}\Bigl(\tan t+\tfrac{\tan^{3}t}{3}\Bigr)+C =\frac{\operatorname{sec}^{4}t\,\tan t}{5} +\frac{4\,\tan t}{5} +\frac{4\,\tan^{3}t}{15} +C.

Passo 4

Por fim
\int \tan^{5}y\,\operatorname{sec}^{6}y\,dy.
Reescrevemos \operatorname{sec}^{6}y=\operatorname{sec}^{4}y\cdot\operatorname{sec}^{2}y e fazemos u=\tan y, du=\operatorname{sec}^{2}y\,dy. Além disso \operatorname{sec}^{4}y=(1+\tan^{2}y)^{2}=(1+u^{2})^{2}. Então
\int \tan^{5}y\,\operatorname{sec}^{6}y\,dy =\int u^{5}(1+u^{2})^{2}\,du =\int \bigl(u^{5}+2u^{7}+u^{9}\bigr)\,du.
Integramos:
\int u^{5}\,du=\frac{u^{6}}{6},\quad \int 2u^{7}\,du=\frac{2u^{8}}{8}=\frac{u^{8}}{4},\quad \int u^{9}\,du=\frac{u^{10}}{10}.
Voltando a y,
\int \tan^{5}y\,\operatorname{sec}^{6}y\,dy =\frac{\tan^{6}y}{6} +\frac{\tan^{8}y}{4} +\frac{\tan^{10}y}{10} +C.

Resposta

\displaystyle \int \tan^{5}x\,dx =\frac{\operatorname{sec}^{4}x}{4}-\operatorname{sec}^{2}x+\ln\bigl|\operatorname{sec} x\bigr|+C.
\displaystyle \int \operatorname{sec}^{6}t\,dt =\frac{\operatorname{sec}^{4}t\,\tan t}{5} +\frac{4\,\tan t}{5} +\frac{4\,\tan^{3}t}{15} +C.
\displaystyle \int \tan^{5}y\,\operatorname{sec}^{6}y\,dy =\frac{\tan^{6}y}{6} +\frac{\tan^{8}y}{4} +\frac{\tan^{10}y}{10} +C.

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