Questão 14. Calcule primitivas de \tan ^{5} x, de \operatorname{sec} ^{6} t e de \tan ^{5} y \operatorname{sec} ^{6} y.
Passo 1
O enunciado pede as primitivas (integrais indefinidas) de \tan^{5}x, de \operatorname{sec}^{6}t e de \tan^{5}y\,\operatorname{sec}^{6}y. O conteúdo principal é integração de potências de funções trigonométricas usando identidades como \tan^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u-1 e substituições adequadas (u=\operatorname{sec} x ou u=\tan y).
Passo 2
Vamos calcular
\int \tan^{5}x\,dx.
Escrevemos \tan^{5}x=\tan^{4}x\cdot\tan x e usamos \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, logo
Falta \int \operatorname{sec}^{4}t\,dt. Escrevemos \operatorname{sec}^{4}t=(1+\tan^{2}t)\operatorname{sec}^{2}t e fazemos u=\tan t, du=\operatorname{sec}^{2}t\,dt:
Reescrevemos \operatorname{sec}^{6}y=\operatorname{sec}^{4}y\cdot\operatorname{sec}^{2}y e fazemos u=\tan y, du=\operatorname{sec}^{2}y\,dy. Além disso \operatorname{sec}^{4}y=(1+\tan^{2}y)^{2}=(1+u^{2})^{2}. Então