Questão 14: Considere os subespaços vetoriais do mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} W_{1}=\{(x, y, z) \mid x-2 z=0\}\\\ W_{2}=\{(x, y, z) \mid 2 y+z=0\}\\\ W_{3}=[(1,1,1),(1,-1,2)]\\\ W_{4}=[(1,2,3),(2,-3,2)] \end{gathered}
Determine uma base e a dimensão de:
W_{1}+W_{2}

Passo 1

O enunciado dá quatro subespaços de \mathbb{R}^{3}, mas a pergunta é apenas sobre W_{1}+W_{2}. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2z=0\},
W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 2y+z=0\}.
Pergunta:
Determine uma base e a dimensão de W_{1}+W_{2}.
Observação importante (para não me perder): W_{1}+W_{2} significa o conjunto de todas as somas u+v com u\in W_{1} e v\in W_{2}. Equivalentemente, W_{1}+W_{2}=\text{span}(W_{1}\cup W_{2}).

Passo 2

Primeiro vou escrever cada subespaço em forma paramétrica — isso facilita achar uma base.
Para W_{1}: a equação é x-2z=0, ou seja x=2z. As variáveis livres são y e z. Escrevo o vetor (x,y,z) em função de parâmetros y e z:
(x,y,z)=(2z,y,z)=y\,(0,1,0)+z\,(2,0,1).
Isso mostra que todo vetor de W_{1} é combinação linear de (0,1,0) e (2,0,1).
Para W_{2}: a equação é 2y+z=0, ou seja z=-2y. As variáveis livres são x e y. Escrevo (x,y,z) com parâmetros x e y:
(x,y,z)=(x,y,-2y)=x\,(1,0,0)+y\,(0,1,-2).
Isso mostra que todo vetor de W_{2} é combinação linear de (1,0,0) e (0,1,-2).
Explicando rápido: escolher parâmetros significa escrever as coordenadas em função de variáveis livres; cada parâmetro gera um vetor de direção que serve como candidato a base.

Passo 3

Escolho como geradores (listas de vetores) a união das bases naturais que achamos:
\mathcal{G}=\{(2,0,1),\;(0,1,0),\;(1,0,0),\;(0,1,-2)\}.
Então W_{1}+W_{2}=\text{span}(\mathcal{G}). Agora preciso reduzir \mathcal{G} a uma base, isto é, encontrar um subconjunto linearmente independente que gere o mesmo subespaço.
Estratégia prática: tento extrair 3 vetores independentes (em \mathbb{R}^{3} a dimensão máxima é 3). Observando \mathcal{G}, noto que os vetores (1,0,0) e (0,1,0) são os dois primeiros vetores canônicos e_{1} e e_{2}. Se eu conseguir um vetor com componente na terceira coordenada independente desses dois, provavelmente já tenho 3 vetores independentes.
O vetor (2,0,1) tem terceira coordenada 1 e primeira coordenada 2. Vou testar a independência do conjunto
\{(1,0,0),\; (0,1,0),\; (2,0,1)\}.

Passo 4

Testando independência linear: suponha que existam escalares a,b,c tais que
a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(2,0,1)=(0,0,0).
Escrevo coordenada a coordenada:
primeira coordenada: a + 2c = 0,
segunda coordenada: b = 0,
terceira coordenada: c = 0.
Da terceira equação vem c=0. Da segunda vem b=0. Da primeira, com c=0, vem a=0. Logo a única solução é a=b=c=0, portanto os três vetores são linearmente independentes.
Outra forma curta de ver isso (útil na prova): monte a matriz cujas colunas são esses três vetores:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz é triangular com diagonais 1,1,1, então seu determinante é 1\neq 0, o que também prova independência.
Como encontrei três vetores independentes em \mathbb{R}^{3}, o espaço por eles gerado tem dimensão 3. Em \mathbb{R}^{3} não existe subespaço de dimensão maior que 3, então o subespaço gerado por \mathcal{G} (que é W_{1}+W_{2}) tem dimensão 3. Portanto W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.]

Passo 5

Conclusão prática e dica de prova: quando a soma de dois subespaços de \mathbb{R}^{3} contém três vetores linearmente independentes, ela é todo \mathbb{R}^{3}. Aqui conseguimos explicitamente três vetores independentes que pertencem a W_{1}\cup W_{2}:
(1,0,0)\in W_{2},\qquad (0,1,0)\in W_{1},\qquad (2,0,1)\in W_{1}.
Assim W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.
Uma base conveniente (a mais simples) é a base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}. Outra base válida é \{(1,0,0),(0,1,0),(2,0,1)\} — ambas têm 3 vetores independentes que geram \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Base: \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
Dimensão: 3

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