Questão 13: Seja W=[(1,1,2,2),(1,-1,1,-1),(1,-1,-1,1),(2,0,5,-1)] \subset \mathbb{R}^{4}.
a. Determine uma base de W.
b. Verifique se o vetor v=(3,-1,4,0) \in W.
c. Complete a base obtida no item (a) para uma base de \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W gerado pelos vetores
w_1=(1,1,2,2),\quad w_2=(1,-1,1,-1),\quad w_3=(1,-1,-1,1),\quad w_4=(2,0,5,-1)
em \mathbb{R}^4 e pede três coisas:
  1. (a) Determinar uma base de W.
  2. (b) Verificar se v=(3,-1,4,0) pertence a W.
  3. (c) Completar a base obtida em (a) para uma base de \mathbb{R}^4.
Informações relevantes: os quatro vetores acima são os geradores de W. Para achar uma base de W precisamos extrair um subconjunto linearmente independente que gere o mesmo subespaço (ou seja, determinar o posto e escolher vetores correspondentes às colunas pivô). Para verificar v\in W resolvemos se existe combinação linear dos geradores que dê v. Para completar a base, basta acrescentar um vetor que não esteja em W (qualquer vetor fora de W tornará o conjunto gerador independente de dimensão 4).

Passo 2

Conceito curto e útil antes de mexer nas contas: uma base de um subespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço. Para testar independência e encontrar coeficientes de combinações lineares usamos eliminação de Gauss (redução por linhas) em matrizes cujas colunas são os vetores. Vou montar a matriz cujas colunas são w_1,w_2,w_3,w_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 5\\[4pt] 2 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Cada coluna é um vetor gerador. A ideia: reduzir A por linhas até obter pivôs (colunas com entradas que têm pivôs) — as colunas pivô correspondem a vetores linearmente independentes que geram o mesmo espaço coluna.]

Passo 3

Vamos reduzir A passo a passo (explico cada operação; toda operação é combinar linhas, o que preserva relações entre colunas):
Partimos de
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 & 5\\\\ 2 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3-2R_1, R_4\leftarrow R_4-2R_1. Isso zera a primeira coluna abaixo do primeiro pivô:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & -2 & -2 & -2\\\\ 0 & -1 & -3 & 1\\\\ 0 & -3 & -1 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora vamos pivotar na segunda coluna. Para simplificar, substituo R_2 por (-1/2)R_2 (isso cria um pivô 1):
R_2\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2 \implies R_2=(0,1,1,1).
Em seguida elimino a segunda coluna nas outras linhas: R_3\leftarrow R_3+R_2, R_4\leftarrow R_4+3R_2, R_1\leftarrow R_1-R_2. O resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Expliquei: ao operar assim, deixei a forma escalonada com pivô na coluna 2 e zerei as entradas acima/abaixo dele.

Passo 5

Agora pivotamos na terceira coluna. Divido R_3 por -2 para obter pivô 1: R_3\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3=(0,0,1,-1). Depois elimino a terceira coluna em R_2 e R_4: R_2\leftarrow R_2-R_3, R_4\leftarrow R_4-2R_3. Isso produz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora temos três pivôs (colunas 1, 2 e 3) e a quarta linha é nula, portanto o posto (a dimensão do espaço gerado pelas colunas) é 3.

Passo 6

Interpretação das pivôs: as colunas [1,2,3) são colunas pivô, logo os vetores w_1,w_2,w_3 são linearmente independentes e geram o espaço coluna de A. Como o posto é 3, w_4 é combinação linear de w_1,w_2,w_3.
Para encontrar explicitamente a combinação que gera w_4, resolvemos a w_1 + b w_2 + c w_3 = w_4. Escrevendo componentes:
\begin{cases} a+b+c = 2,\\\ a-b-c = 0,\\\\ 2a+b-c = 5,\\\\ 2a-b+c = -1. \end{cases}
Somando as duas primeiras equações (primeira + segunda) dá 2a=2\Rightarrow a=1\]. Substituindo \(a=1 na primeira obtem b+c=1. Da terceira obtem 2+b-c=5\Rightarrow b-c=3. Resolvendo b+c=1 e b-c=3 b=2, c=-1. Logo
w_4 = 1\cdot w_1 + 2\cdot w_2 -1\cdot w_3.

Passo 7

Concluímos (item a): uma base de W é o conjunto dos vetores correspondentes às colunas pivô:
\{\,w_1,w_2,w_3\,\}=\{(1,1,2,2),\; (1,-1,1,-1),\; (1,-1,-1,1)\}.
Expliquei: esses três são independentes e geram todos os vetores de W (inclusive w_4 como mostrado).

Passo 8

Agora (item b) verificar se v=(3,-1,4,0)\in W\). Precisamos ver se existem \(a,b,c\) tais que \(a w_1 + b w_2 + c w_3 = v\). Escrevemos o sistema componente a componente: \[\begin{cases} a+b+c = 3,\\\ a-b-c = -1,\\\\ 2a+b-c = 4,\\\\ 2a-b+c = 0. \end{cases}
Somando as duas primeiras equações dá 2a=2\Rightarrow a=1\]. Substituindo em \(a+b+c=3 obtemos b+c=2. Da terceira equação 2(1)+b-c=4\Rightarrow b-c=2. Resolvendo b+c=2 e b-c=2 b=2, c=0. Portanto
v = 1\cdot w_1 + 2\cdot w_2 + 0\cdot w_3,
ou seja, v\in W.

Passo 9

Para (item c) completar a base de W\) para uma base de \(\mathbb{R}^4\): como \(\dim W=3\), precisamos de mais um vetor linearmente independente em relação a \(\{w_1,w_2,w_3\}\). Basta escolher qualquer vetor que não esteja em \(W\). Uma escolha simples é \(e_4=(0,0,0,1)\). Para garantir que \(e_4\notin W\) verificamos se existe combinação \(a w_1 + b w_2 + c w_3 = e_4\). O sistema é \[\begin{cases} a+b+c = 0,\\\ a-b-c = 0,\\\\ 2a+b-c = 0,\\\\ 2a-b+c = 1. \end{cases}
Das duas primeiras equações segue a=0\] e \(b+c=0. Das equações seguintes chega-se a contradição (a soma das três primeiras implicaria última igual a 0), logo não há solução — portanto e_4\notin W. Assim acrescentar e_4 aumenta a dimensão para 4 e o conjunto
\{\,w_1,w_2,w_3,e_4\,\}
é uma base de \mathbb{R}^4.

Resposta

(a) \{(1,1,2,2),\;(1,-1,1,-1),\;(1,-1,-1,1)\}
(b) Sim. (3,-1,4,0)=1\cdot(1,1,2,2)+2\cdot(1,-1,1,-1)+0\cdot(1,-1,-1,1)
(c) Uma extensão é \{(1,1,2,2),\;(1,-1,1,-1),\;(1,-1,-1,1),\;(0,0,0,1)\}

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