Questão 14. Construa um campo vetorial simples em \mathbb{R}^{2} que não seja conservativo e justifique.

Passo 1

O enunciado pede que se construa um campo vetorial simples em \mathbb{R}^{2} que NÃO seja conservativo e que essa escolha seja justificada.
Informações dadas (explicitadas):
  • O domínio é \mathbb{R}^{2}.
  • Precisa-se de um campo vetorial em \mathbb{R}^{2}.
  • Deve-se provar que esse campo não é conservativo.

Passo 2

O que significa “conservativo” — conceito e critérios que vou usar.
  • Um campo vetorial \mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, isto é,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q.
  • Propriedade útil (equivalente em domínios apropriados): se \mathbf{F} é de classe C^{1} (derivadas contínuas) em um domínio simplesmente conectado, então \mathbf{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.
Essa diferença é frequentemente chamada de “rotacional” em 2D:
\text{rot}\,\mathbf{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
  • Outro teste prático: se existir uma curva fechada \gamma tal que
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\neq 0,
então \mathbf{F} não é conservativo (porque campos conservativos têm integral de linha nula em qualquer laço fechado).

Passo 3

Escolha de um campo vetorial simples. Vou propor um campo polinomial simples, com derivadas fáceis:
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(-y,\;x\bigr).
Observações sobre esta escolha:
  • É muito simples (componentes lineares).
  • É de classe C^{\infty} em todo \mathbb{R}^{2} (ou seja, tem derivadas contínuas).
  • Por ser definido em todo \mathbb{R}^{2}, o domínio é aberto e simplesmente conectado — portanto posso aplicar o teste do rotacional.

Passo 4

Aplicando o teste do rotacional a \mathbf{F}(x,y)=\bigl(P,Q\bigr)=\bigl(-y,x\bigr). Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\bigr)=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y\bigr)=-1.
Logo o rotacional é
\text{rot}\,\mathbf{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
Como \text{rot}\,\mathbf{F} é diferente de zero (na verdade constante igual a 2 em todo \mathbb{R}^{2}), pelo critério mencionado, \mathbf{F} não pode ser conservativo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (mais concreta): calcular a integral de linha de \mathbf{F} ao longo do círculo unitário e mostrar que dá valor não nulo. Isso serve como evidência direta de não-conservatividade.
Parametrização do círculo unitário \gamma: \;x=\cos t,\;y=\sin t,\;t\in[0,2\pi]. Então
dx=-\sin t\,dt,\qquad dy=\cos t\,dt.
A integral de linha é
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{\gamma}\bigl(-y\,dx + x\,dy\bigr).
Substituindo a parametrização:
-y\,dx + x\,dy = -\sin t\cdot(-\sin t\,dt) + \cos t\cdot(\cos t\,dt) = \sin^{2}t\,dt + \cos^{2}t\,dt = 1\cdot dt.
Integrando de 0 a 2\pi:
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi \neq 0.
Como a integral em um laço fechado não é zero, isso confirma de maneira direta que \mathbf{F} não é conservativo.

Passo 6

Resumo da justificativa (como dizer isso numa prova, pequeno roteiro):
  • Apresentar \mathbf{F}(x,y)=(-y,x).
  • Notar que \mathbf{F} é C^{1} em \mathbb{R}^{2} e que \mathbb{R}^{2} é simplesmente conectado.
  • Calcular \text{rot}\,\mathbf{F}=2\neq 0. Concluir que \mathbf{F} não é conservativo.
    Opcional (bom para citar): pode também mostrar a integral ao longo do círculo unitário que deu 2\pi, reforçando a conclusão.

Resposta

\mathbf{F}(x,y)=(-y,x) — não é conservativo.

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