Questão 14. Construa um campo vetorial simples em
que não seja conservativo e justifique.
Passo 1
O enunciado pede que se construa um campo vetorial simples em
que NÃO seja conservativo e que essa escolha seja justificada.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- O domínio é
. - Precisa-se de um campo vetorial em
. - Deve-se provar que esse campo não é conservativo.
Passo 2
O que significa “conservativo” — conceito e critérios que vou usar.
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que , isto é,
- Propriedade útil (equivalente em domínios apropriados): se
é de classe (derivadas contínuas) em um domínio simplesmente conectado, então é conservativo se, e somente se,
Essa diferença é frequentemente chamada de “rotacional” em 2D:
- Outro teste prático: se existir uma curva fechada
tal que
então
não é conservativo (porque campos conservativos têm integral de linha nula em qualquer laço fechado).
Passo 3
Escolha de um campo vetorial simples. Vou propor um campo polinomial simples, com derivadas fáceis:
Observações sobre esta escolha:
- É muito simples (componentes lineares).
- É de classe
em todo (ou seja, tem derivadas contínuas). - Por ser definido em todo
, o domínio é aberto e simplesmente conectado — portanto posso aplicar o teste do rotacional.
Passo 4
Aplicando o teste do rotacional a
. Calcular as derivadas parciais:
Logo o rotacional é
Como
é diferente de zero (na verdade constante igual a
em todo
), pelo critério mencionado,
não pode ser conservativo em
.
Passo 5
Verificação alternativa (mais concreta): calcular a integral de linha de
ao longo do círculo unitário e mostrar que dá valor não nulo. Isso serve como evidência direta de não-conservatividade.
Parametrização do círculo unitário
:
. Então
A integral de linha é
Substituindo a parametrização:
Integrando de
a
:
Como a integral em um laço fechado não é zero, isso confirma de maneira direta que
não é conservativo.
Passo 6
Resumo da justificativa (como dizer isso numa prova, pequeno roteiro):
- Apresentar
. - Notar que
é em e que é simplesmente conectado. - Calcular
. Concluir que não é conservativo.
Opcional (bom para citar): pode também mostrar a integral ao longo do círculo unitário que deu, reforçando a conclusão.