Questão 14: (ITA-83) Seja a matriz
A=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]
onde a=2^{1+\log _{2} 5}, b=2^{\log _{2} 8}, c=\log _{\sqrt{3}} 81 e \log _{\sqrt{3}} 27. Determine A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}
com
a=2^{1+\log_{2}5},\quad b=2^{\log_{2}8},\quad c=\log_{\sqrt{3}}81,\quad d=\log_{\sqrt{3}}27,
e pede A^{-1}. Vamos usar propriedades de potências e logaritmos para achar a,b,c,d e depois a fórmula do inverso de matriz 2\times2.

Passo 2

Calcular a e b usando 2^{\log_{2}x}=x e 2^{m+n}=2^m2^n:
a=2^{1+\log_{2}5}=2^1\cdot2^{\log_{2}5}=2\cdot5=10,
b=2^{\log_{2}8}=8.

Passo 3

Calcular c e d usando \log_{p^r}p^s=s/r:
c=\log_{\sqrt{3}}81=\log_{3^{1/2}}3^4=\frac{4}{1/2}=8,
d=\log_{\sqrt{3}}27=\log_{3^{1/2}}3^3=\frac{3}{1/2}=6.

Passo 4

Agora
A=\begin{pmatrix}10 & 8\\\ 8 & 6\end{pmatrix}.
O determinante é
\det A=10\cdot6-8\cdot8=60-64=-4.

Passo 5

A fórmula do inverso de uma matriz 2\times2 é
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Substituindo e simplificando:
A^{-1}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}6 & -8\\\ -8 & 10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{6}{4} & \tfrac{8}{4}\\[6pt]\tfrac{8}{4} & -\tfrac{10}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2} & 2\\[3pt]2 & -\tfrac{5}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2} & 2\\[3pt]2 & -\tfrac{5}{2}\end{pmatrix}.]

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