Questão 14. Resolva os sistemas abaixo (por escalonamento) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. \left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-4 z & =0, \\\ x-y+z & =3, \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0, \\\\ -x+y+z & =1 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com cinco equações e três incógnitas e pede que a gente o resolva por escalonamento, escrevendo as matrizes ampliadas dos novos sistemas, reduzindo até a forma escalonada reduzida, e determinando os postos (da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada) e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
aplicar operações elementares por linhas (escalonamento) e escrever as matrizes ampliadas dos novos sistemas à medida que avançamos;
reduzir até a forma escalonada reduzida (RREF);
determinar o posto da matriz dos coeficientes A e o posto da matriz ampliada [A\mid b];
dizer o grau de liberdade caso o sistema seja possível.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz ampliada inicial [A\mid b]. A matriz dos coeficientes A tem 5 linhas e 3 colunas; a coluna ampliada é o vetor dos termos independentes. A matriz ampliada inicial é:
Comentários didáticos rápidos (para quem ainda está meio perdido):
A matriz ampliada reúne todas as informações do sistema; operações elementares por linhas correspondem a substituir o sistema por sistemas equivalentes.
A forma escalonada reduzida (RREF) tem uma coluna com 1 pivô por variável básica, zeros acima e abaixo desses pivôs, e linhas de zeros (se houver) ao final. Se numa linha todas as entradas dos coeficientes são zero e a coluna ampliada não é zero, então temos uma equação impossível (0 = c, com c\neq0) e o sistema é inconsistente.]
Passo 3
Para facilitar, vamos obter um pivô 1 na primeira coluna escolhendo a segunda equação como linha inicial. Troco R_1 com R_2 (operação elementar R_1\leftrightarrow R_2). Matriz após a troca:
Pequena explicação do que foi feito: ao anular as entradas abaixo do pivô da primeira coluna, estamos transformando a matriz em forma escalonada (zeros abaixo do primeiro pivô). Cada linha nova representa uma combinação linear das equações originais, mas o sistema equivalente preserva as soluções.]
Passo 5
Agora queremos um pivô na coluna 2. A linha 2 já tem 5 na coluna 2, então podemos transformar essa linha para ter pivô 1 dividindo por 5:
Explicação: ao transformar R_3 em ter pivô 1 na terceira coluna, ficamos aptos a zerar as entradas acima e abaixo desse pivô para obter a forma escalonada reduzida.]
Passo 8
Zeramos a coluna 3 nas demais linhas usando R_3:
R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{7}{5}R_3 (para zerar o -\tfrac{7}{5} em R_2);
R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{2}{5}R_3 (para zerar \tfrac{2}{5} em R_4);
Observação importante: nas linhas 4 e 5 agora temos todas as entradas dos coeficientes nulas, mas as entradas da coluna ampliada são \tfrac{6}{5} e 1, não nulas. Isso corresponde, respectivamente, às equações 0= \tfrac{6}{5} e 0=1, que são impossíveis. Quando aparece qualquer linha do tipo [0\;0\;0\mid c] com c\neq0, o sistema é inconsistente (não tem solução). Ainda assim, vamos terminar de pôr em forma escalonada reduzida as linhas de cima.]
Passo 9
Terminamos a redução tornando zero o -1 na posição (1,2) usando R_2:
R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
Fica a forma escalonada reduzida (RREF) da matriz ampliada:
As três primeiras linhas representam soluções para x,y,z caso as últimas linhas não gerassem contradição.
As últimas duas linhas são do tipo [0\;0\;0\mid c] com c\neq0, ou seja, representam equações 0 = \tfrac{6}{5} e 0=1, o que é impossível. Portanto o sistema não admite solução: é inconsistente.]
Passo 10
Agora determinamos os postos e o grau de liberdade (se aplicável), explicando o raciocínio.
O posto da matriz dos coeficientes A é o número de colunas-pivô (ou o número de linhas não-nulas consideradas apenas nas colunas dos coeficientes) na forma escalonada. Nas três primeiras colunas temos pivôs em cada coluna (coluna 1, coluna 2, coluna 3), portanto
\text{posto}(A)=3.
O posto da matriz ampliada [A\mid b] é o número máximo de linhas linearmente independentes considerando também a coluna ampliada. Na nossa RREF existem quatro linhas linearmente independentes quando se considera a coluna ampliada: as três primeiras (cada uma com um pivô em colunas 1,2,3) e mais uma entre as linhas [0\;0\;0\mid \tfrac{6}{5}] e [0\;0\;0\mid 1] (essas duas são proporcionais entre si, então só uma delas aumenta o posto). Assim
\text{posto}([A\mid b])=4.
Como \text{posto}([A\mid b]) \neq \text{posto}(A) (temos 4 contra 3), pelo Teorema de Rouché–Capelli o sistema é inconsistente (não tem soluções). Consequentemente não faz sentido falar em grau de liberdade (número de variáveis livres), porque não há soluções para parametrizar.
Conclusão final: sistema impossível; \text{posto}(A)=3; \text{posto}([A\mid b])=4; grau de liberdade não se aplica.
Resposta
Sistema impossível. \text{posto}(A)=3 \text{posto}([A\mid b])=4
Grau de liberdade: não aplicável.