Questão 14. Resolva os sistemas abaixo (por escalonamento) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1, \\\ x-y+2 z=2, \\\ x+6 y+3 z=3 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Sistema dado:
\begin{cases} x + y + z = 1,\\[4pt] x - y + 2z = 2,\\[4pt] x + 6y + 3z = 3. \end{cases}
  • O que se pede:
    1. Escrever a matriz ampliada inicial e as matrizes ampliadas após as operações (ou seja, mostrar cada novo sistema associado às operações).
    2. Reduzir a matriz ampliada à forma escalonada reduzida (RREF).
    3. Determinar o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz ampliada.
    4. Se o sistema for possível, informar o grau de liberdade (número de parâmetros livres na solução).]

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz ampliada associada ao sistema original. Colocando as colunas para x,y,z e a coluna à direita para os termos constantes, temos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 6 & 3 & 3 \end{array}\right]
Vamos fazer escalonamento por eliminação de Gauss. A estratégia é usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna de x.
Aplicar as operações:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
A matriz ampliada após essas operações fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2 \end{array}\right]]

Passo 3

Agora trabalhamos com o subbloco das linhas 2 e 3 (colunas de y e z). Tomamos R_2 como próxima linha pivô. É conveniente transformar o pivô em 1 dividindo R_2 por -2.
Operação:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2.
Isso produz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

Com o pivô 1 na posição (2,2), eliminamos as entradas não nulas na coluna y acima e abaixo desse pivô.
Aplicamos:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2.
Calculemos cada atualização (mostrando os cálculos):
  • Para R_1: [1,\;1,\;1\;|\;1] - [0,\;1,\;-\tfrac{1}{2}\;|\;-\tfrac{1}{2}] = [1,\;0,\;1+\tfrac{1}{2}\;|\;1+\tfrac{1}{2}] = [1,\;0,\;\tfrac{3}{2}\;|\;\tfrac{3}{2}].
  • Para R_3: ([0,;5,;2;|;2] - 5[0,;1,;-\tfrac{1}{2};|;-\tfrac{1}{2}] = [0,;0,;2 - 5(-\tfrac{1}{2});|;2 - 5(-\tfrac{1}{2})] = [0,;0,;2+\tfrac{5}{2};|;2+\tfrac{5}{2}] = [0,;0,;\tfrac{9}{2};|;\tfrac{9}{2}].\ A matriz ampliada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{9}{2} & \tfrac{9}{2} \end{array}\right]])

Passo 5

Agora resta tratar a terceira linha, que tem \tfrac{9}{2} como entrada na coluna de z. Vamos transformar esse pivô em 1 dividindo a linha por \tfrac{9}{2} (equivalente a multiplicar por \tfrac{2}{9}).
Operação:
R_3 \leftarrow \tfrac{2}{9} R_3.
Obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Com o pivô em z igual a 1, eliminamos as entradas na coluna z acima do pivô para obter a forma escalonada reduzida (RREF).
Aplicamos:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3.
Fazendo as contas:
  • R_1: [1,\;0,\;\tfrac{3}{2}\;|\;\tfrac{3}{2}] - \tfrac{3}{2}[0,\;0,\;1\;|\;1] = [1,\;0,\;0\;|\;0].
  • R_2: [0,\;1,\;-\tfrac{1}{2}\;|\;-\tfrac{1}{2}] + \tfrac{1}{2}[0,\;0,\;1\;|\;1] = [0,\;1,\;0\;|\;0].
A matriz ampliada na forma escalonada reduzida é então:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretação final a partir da RREF:
  • A forma escalonada reduzida mostra equações equivalentes:
\begin{cases} x = 0,\\[4pt] y = 0,\\[4pt] z = 1. \end{cases}
Logo existe uma única solução (x,y,z) = (0,0,1).
  • Postos:
    • Número de variáveis = 3.
    • O número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida é 3. Portanto o posto da matriz dos coeficientes é \;3.
    • Como não houve contradição (linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq 0), o posto da matriz ampliada também é \;3.
  • Grau de liberdade: é dado por \text{número de variáveis} - \text{posto} = 3 - 3 = 0úá. Ou seja, não há parâmetros livres: solução única.]

Resposta

Solução única: (x,y,z) = (0,0,1).
Posto da matriz dos coeficientes = 3.
Posto da matriz ampliada = 3.
Grau de liberdade = 0.

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