Questão 14. Resolva os sistemas abaixo (por escalonamento) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}=1.
Passo 1
O enunciado dá um único sistema linear com uma equação e quatro incógnitas. Vou listar claramente o que o problema pede e o que é fornecido.
Equação fornecida:
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=1.
O enunciado pede:
Escrever a matriz ampliada associada ao sistema e às matrizes que surgirem nos novos sistemas (isto é, mostrar a matriz ampliada antes e depois de operações por escalonamento).
Reduzir a matriz ampliada à forma escalonada reduzida (RREF).
Determinar o posto da matriz dos coeficientes A.
Determinar o posto da matriz ampliada [A\mid b].
Se o sistema for possível, determinar o grau de liberdade (número de parâmetros livres na solução).
Passo 2
Vou escrever a matriz ampliada inicial do sistema. A matriz dos coeficientes A tem uma única linha com os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, e o vetor lado direito b é a coluna com o valor 1. A matriz ampliada inicial é:
Aqui cada entrada está colocada na ordem dos coeficientes da equação e o último termo após a barra vertical é o termo independente.
Passo 3
Explicando o objetivo do escalonamento (em linguagem simples): queremos obter uma forma onde apareçam “pivôs” (1s) em algumas colunas e zeros abaixo e acima desses pivôs, de modo a identificar quais variáveis são líderes (determinam outras) e quais são livres. A forma escalonada reduzida (RREF) exige:
Cada linha não nula tem primeiro elemento não nulo igual a 1 (pivô).
Cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna (zeros acima e abaixo).
Linhas de zeros, se existirem, ficam abaixo das linhas não nulas.
No nosso caso há somente uma linha não nula. Já existe um 1 na primeira posição, então essa linha já apresenta um pivô na coluna 1. Para a RREF verificaríamos se precisamos zerar elementos acima/abaixo do pivô — não há outras linhas. Também poderíamos tentar fazer o pivot em outra coluna dividindo ou trocando linhas, mas não há necessidade: a linha já tem pivô igual a 1.
Vou mostrar a matriz ampliada após considerar que o pivô já está normalizado (nenhuma operação efetuada porque já está na forma adequada):
Vou explicar por que: já existe um pivô 1 na primeira coluna e não há outras linhas que precisem ser zeradas acima/abaixo. Portanto a matriz já satisfaz as condições da RREF.
Passo 5
Agora explico o conceito de posto (rank) de forma didática:
O posto de uma matriz é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes; operacionalmente, é o número de pivôs (linhas não nulas) na forma escalonada reduzida.
Para a matriz dos coeficientes A contamos quantos pivôs aparecem nas colunas correspondentes aos coeficientes.
Para a matriz ampliada [A\mid b] fazemos o mesmo, tratando a coluna ampliada com o termo independente como parte da matriz.
Na nossa RREF a matriz ampliada tem exatamente uma linha não nula, com um pivô na primeira coluna. Logo:
\operatorname{rank}(A)=1 (há um pivô entre as colunas de coeficientes).
\operatorname{rank}([A\mid b])=1 (a linha com o termo independente também é não nula e não gera contradição).
Passo 6
Consistência do sistema: um sistema linear é inconsistente (impossível) somente se a RREF apresentar uma linha do tipo [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0\mid c] com c\neq 0 — isto é, uma linha de zeros nos coeficientes mas com termo independente não nulo, o que representa 0 = c com c\neq 0. Aqui isso não ocorre, porque a linha de coeficientes não é nula. Assim o sistema é possível (tem pelo menos uma solução). Como há menos pivôs do que incógnitas, haverá infinitas soluções.
Grau de liberdade: número de variáveis livres é n-\operatorname{rank}(A), onde n é o número de incógnitas. Aqui n=4 e \operatorname{rank}(A)=1, portanto o grau de liberdade é
4-1=3.
Passo 7
Agora vou encontrar a solução paramétrica (como pediriam na prova). A RREF indica que a variável correspondente ao pivô (a primeira coluna) é uma variável líder; as outras colunas (2, 3 e 4) não têm pivôs e, portanto, correspondem a variáveis livres.
A equação representada pela linha é:
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=1.
Isolando x_{1} em função das livre x_{2},x_{3},x_{4}:
x_{1}=1-2x_{2}+x_{3}-3x_{4}.
Para escrever a solução em forma paramétrica, defino parâmetros para as variáveis livres. Seja
x_{2}=s,\qquad x_{3}=t,\qquad x_{4}=u,
onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Então
x_{1}=1-2s+t-3u.
Escrevendo a solução vetor como função dos parâmetros:
Aqui a primeira coluna é uma solução particular e os três vetores seguintes formam uma base da solução do correspondente sistema homogêneo A x=0.]
Passo 8
Breve checagem, só para garantir: se eu escolher s=t=u=0, obtenho x_{1}=1 e vetor (1,0,0,0), que satisfaz a equação inicial. Se eu aumentar qualquer parâmetro, a combinação linear descrita mantém a equação satisfeita — confirmando que a descrição paramétrica está correta.