Questão 14: [Tarefa Computacional] Admitindo condição de projeto, V1, t=0, encontre uma expressão que relacione a altura de carga teórica H com o ângulo da pá beta2 na saída do impelidor
H=1g(omega^2 r2^2-omega Q2 pi b2 tan beta2)
Plote: i) a curva de desempenho teórica ( Q vs. H ) e ii) a potência teórica ( Q vs. P ) para uma bomba na qual r2=60 mm, b2=10 mm e omega=1710 rpm.

Passo 1

O enunciado está falando de uma bomba centrífuga em que se admite a condição de projeto V1,t=0 na entrada do impelidor. Queremos usar a equação de Euler para turbomáquinas para:
  • Derivar uma expressão que relacione a altura teórica de carga H com o fluxo volumétrico Q e o ângulo de saída da pá beta2.
  • Em seguida, para uma bomba com r2=60 mm, b2=10 mm e omega=1710 rpm, plotar
    1. a curva teórica de desempenho ( Q vs.\ H), e
    2. a curva de potência teórica ( Q vs.\ P).
Conteúdo: equação de Euler para turbomáquinas e relação potência–carga hidráulica.

Passo 2

Aplicamos a equação de Euler (em termos de alturas) para uma máquina em regime permanente, desprezando perda de energia mecânica interna:
g,H = U2 Vu2 - U1 Vu1
Como V1,t=Vu1=0 e U2=r2,omega, além de escrever a componente tangencial de velocidade de saída pela relação geométrica
Vu2 = U2 - Vm2,tanbeta2,
onde Vm2=Q/(2pi r2 b2), temos
g,H = U2l(U2 - Vm2tanbeta2r) = omega r2l(omega r2 - Q2pi r2 b2tanbeta2r)
Isolando H,
boxedH = 1gl(omega^2r2^2 ;-;omega,Q2pi b2,tanbeta2r)

Passo 3

A potência hidráulica ideal é
P = rho ,g,Q,H
Para cálculo e plot, tomamos rho=1000 kg/m^3 e g=9,81 m/s^2.

Passo 4

Convertendo dados para unidades SI:
r2 = 0,06 m, b2=0,01 m, omega = 1710 rpm = 17102pi60,rad/sapprox179,07;rad/s
Escolhemos um ângulo de pá fixo, por exemplo beta2=20^circ (basta usar o valor de projeto real). Então tanbeta2=tan(20^circ)approx0,3640.
Montamos um vetor de vazões Q de 0 até um valor máximo Qmax tal que H>=0. Da expressão de H, H=0 implica
Qmax = 2pi b2,tanbeta2,omega,r2^2

Passo 5

Segue um esqueleto de código Python para gerar e plotar as curvas:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
rho \(=1000\)         # kg/\(m^{3}\)
g   \(=9.81\)         # m/\(s^{2}\)
r\(2=0.06\)         # m
b\(2=0.01\)         # m
omega \(=1710\)*\(2\)*np.pi/\(60\)  # rad/s
beta\(2=\) np.deg\(2\)rad(\(20\))   # rad

# Qmax de acordo com H\(=0\)
Qmax \(=2\)*np.pi*b\(2\)*np.tan(beta\(2\))*omega*r\(2\)**\(2\)

# Vetor de vazões
Q \(=\) np.linspace(\(0\), Qmax, \(200\))

# Cálculo de H e P
H \(=\) (omega**\(2\) * r\(2\)**\(2\) - omega*Q/(\(2\)*np.pi*b\(2\)*np.tan(beta\(2\)))) / g
P \(=\) rho * g * Q * H

# Plot desempenho
plt.figure()
plt.plot(Q, H, 'b-', lw\(=2\))
plt.xlabel('Q (\(m^{3}\)/s)')
plt.ylabel('H (m)')
plt.title('Curva Teórica de Desempenho: Q vs H')
plt.grid(True)

# Plot potência
plt.figure()
plt.plot(Q, P, 'r-', lw\(=2\))
plt.xlabel('Q (\(m^{3}\)/s)')
plt.ylabel('P (W)')
plt.title('Curva Teórica de Potência: Q vs P')
plt.grid(True)

plt.show()

Resposta

A expressão teórica que relaciona a altura de carga H com o fluxo Q e o ângulo de pá beta2 é
H = 1gl(omega^2r2^2 - omega,Q2pi b2,tanbeta2r),
e as curvas de desempenho ( Q vs.\ H) e de potência ( Q vs.\ P=rho g Q H) para os dados numéricos fornecidos podem ser geradas pelo script acima.

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