Questão 14 - Torque e Movimento Rotacional
Um mecânico utiliza uma chave longa para apertar um parafuso.
a) Explique por que uma chave mais longa facilita a aplicação de torque.
b) Relacione torque e aceleração angular.
a) Explique por que uma chave mais longa facilita a aplicação de torque.
b) Relacione torque e aceleração angular.
Passo 1
O enunciado dá a situação: um mecânico usa uma chave (uma alavanca) para apertar um parafuso. Pede duas coisas:
a) explicar por que uma chave mais longa facilita a aplicação de torque;
b) relacionar torque e aceleração angular.
a) explicar por que uma chave mais longa facilita a aplicação de torque;
b) relacionar torque e aceleração angular.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
- Há uma força aplicada na extremidade da chave pela mão do mecânico (vamos chamar essa força de
). - A chave tem comprimento (braço da alavanca) que chamaremos de
— distância do pivô (parafuso) ao ponto de aplicação da força. - Objetivo prático: conseguir girar o parafuso (produzir rotação/acompanhar aceleração angular).
Passo 2
Definição e fórmula do torque (explicação didática).
- Torque é a “capacidade de fazer girar” que uma força tem em relação a um ponto (pivot). É a versão rotacional da força.
- Em termos vetoriais:
. Isso significa que o torque é o produto vetorial entre o vetor posição (do pivô até o ponto onde a força é aplicada) e a força . - Em forma escalar (quando interessa o módulo), a fórmula é
onde:
-
é o módulo do torque (unidade: ); -
é a distância (braço da alavanca) do pivô até o ponto de aplicação da força (unidade: ); -
é a magnitude da força aplicada (unidade: ); -
é o ângulo entre e . O maior torque para dada e ocorre quando (força perpendicular), então . - Interpretação física simples: torque cresce com a distância
porque a mesma força aplicada mais longe do pivô tem “mais alavanca” para girar o objeto.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso da chave: por que uma chave mais longa facilita o aperto.
- Suponha que o mecânico exerça uma mesma força
com as duas chaves. Para a chave curta de comprimento o torque é
e para a chave longa de comprimento
é
- Se
então . Ou seja, para a mesma força aplicada, a chave mais longa produz maior torque — fica mais fácil causar a rotação necessária para soltar/apertar o parafuso. - Exemplo numérico curto (para fixar): se
, , e , então
Com a chave longa o torque é quatro vezes maior — muito mais efetivo.
- Outra forma prática de ver: para obter um mesmo torque desejado
, a força necessária é
Logo, maior
implica menor
necessária. Por isso se usa chave longa quando se quer reduzir o esforço humano.
Passo 4
Ligando torque à aceleração angular: enunciando a lei rotacional análoga a
.
- Na dinâmica rotacional existe uma lei análoga à segunda lei de Newton para translação. Para um corpo rígido a soma dos torques externos em torno de um eixo é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
Aqui:
-
é a soma dos torques (em ); -
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo considerado (unidade: ); representa a “resistência” do corpo a mudar seu estado rotacional (análogo da massa na translação); -
é a aceleração angular (unidade: ). - Dessa relação obtemos diretamente
Isto diz: quanto maior o torque aplicado, maior a aceleração angular; quanto maior o momento de inércia, menor a aceleração angular gerada pelo mesmo torque.
Passo 5
Derivação curta e intuitiva da relação
para entender de onde vem.
- Considere uma partícula de massa
ligada a uma haste rígida e localizada a uma distância do eixo. Se uma força tangencial age sobre ela, a equação de Newton tangencial é
onde
é a aceleração tangencial. A relação entre aceleração tangencial e aceleração angular é
- O torque produzido por essa força é
. Substituindo e vem
- Identifica-se aqui
para uma partícula pontual; generalizando para um conjunto de partículas ou um corpo contínuo, soma-se (ou integra-se) e obtém-se a forma geral
- Então
(ou quando há vários torques) é rigorosamente análoga a e é a razão direta entre torque e aceleração angular.
Passo 6
Consequências práticas e conexão com o item (a).
- Se para um dado corpo rígido
é fixo (determinado pela massa e pela distribuição delas), então a aceleração angular que se obtém aplicando uma força a uma distância é
- Logo, para a mesma força
aplicada perpendicularmente ( ), aumentar (usar chave mais longa) aumenta e, portanto, aumenta . É por isso que a chave longa não só reduz o esforço exigido para produzir o mesmo giro (mesmo torque com menos força), como também, aplicando a mesma força, gera maior aceleração angular do parafuso. - Exemplo numérico rápido: suponha um parafuso rígido com momento de inércia efetivo
(valor só ilustrativo), e aplique perpendicularmente com uma chave de . Então e
Se a chave tivesse
com a mesma força,
e
: o dobro da aceleração angular.
Passo 7
Resumo prático e dicas para prova (forma curta e memorizável).
- Fórmulas-chave:
e . - Interpretação: chave mais longa
maior maior para mesma (ou menor para mesmo ). Maior leva, via , a maior aceleração angular. - Atenção ao ângulo: a força é mais eficaz quando aplicada perpendicularmente (
). Use a regra da mão direita para identificar o sentido do torque.
Resposta
(a) Uma chave mais longa aumenta o braço da alavanca
, e como
, para a mesma força aplicada ela gera maior torque; alternativamente, para obter um mesmo torque é necessária menos força quando
é maior.
(b) A relação entre torque e aceleração angular é dada por , ou seja
, onde
é o momento de inércia e
a aceleração angular.
(b) A relação entre torque e aceleração angular é dada por