Questão 14 - Torque e Movimento Rotacional

Um mecânico utiliza uma chave longa para apertar um parafuso.
a) Explique por que uma chave mais longa facilita a aplicação de torque.
b) Relacione torque e aceleração angular.

Passo 1

O enunciado dá a situação: um mecânico usa uma chave (uma alavanca) para apertar um parafuso. Pede duas coisas:
a) explicar por que uma chave mais longa facilita a aplicação de torque;
b) relacionar torque e aceleração angular.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • Há uma força aplicada na extremidade da chave pela mão do mecânico (vamos chamar essa força de F).
  • A chave tem comprimento (braço da alavanca) que chamaremos de r — distância do pivô (parafuso) ao ponto de aplicação da força.
  • Objetivo prático: conseguir girar o parafuso (produzir rotação/acompanhar aceleração angular).

Passo 2

Definição e fórmula do torque (explicação didática).
  • Torque é a “capacidade de fazer girar” que uma força tem em relação a um ponto (pivot). É a versão rotacional da força.
  • Em termos vetoriais: \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. Isso significa que o torque é o produto vetorial entre o vetor posição \vec{r} (do pivô até o ponto onde a força é aplicada) e a força \vec{F}.
  • Em forma escalar (quando interessa o módulo), a fórmula é
\tau = r\,F\,\sin\theta,
onde:
  • \tau é o módulo do torque (unidade: \mathrm{N\cdot m});
  • r é a distância (braço da alavanca) do pivô até o ponto de aplicação da força (unidade: \mathrm{m});
  • F é a magnitude da força aplicada (unidade: \mathrm{N});
  • \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. O maior torque para dada r e F ocorre quando \theta=90^\circ (força perpendicular), então \sin\theta=1.
  • Interpretação física simples: torque cresce com a distância r porque a mesma força aplicada mais longe do pivô tem “mais alavanca” para girar o objeto.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso da chave: por que uma chave mais longa facilita o aperto.
  • Suponha que o mecânico exerça uma mesma força F com as duas chaves. Para a chave curta de comprimento r_1 o torque é
\tau_1 = r_1 F \sin\theta,
e para a chave longa de comprimento r_2 é
\tau_2 = r_2 F \sin\theta.
  • Se r_2>r_1 então \tau_2>\tau_1. Ou seja, para a mesma força aplicada, a chave mais longa produz maior torque — fica mais fácil causar a rotação necessária para soltar/apertar o parafuso.
  • Exemplo numérico curto (para fixar): se F=50\\ \mathrm{N}, \theta=90^\circ, r_1=0{,}1\\ \mathrm{m} e r_2=0{,}4\\ \mathrm{m}, então
\tau_1 = 0{,}1\cdot50 = 5\\ \mathrm{N\cdot m},\qquad \tau_2 = 0{,}4\cdot50 = 20\\ \mathrm{N\cdot m}.
Com a chave longa o torque é quatro vezes maior — muito mais efetivo.
  • Outra forma prática de ver: para obter um mesmo torque desejado \tau_{\text{req}}, a força necessária é
F=\frac{\tau_{\text{req}}}{r\sin\theta}.
Logo, maior r implica menor F necessária. Por isso se usa chave longa quando se quer reduzir o esforço humano.

Passo 4

Ligando torque à aceleração angular: enunciando a lei rotacional análoga a F=ma.
  • Na dinâmica rotacional existe uma lei análoga à segunda lei de Newton para translação. Para um corpo rígido a soma dos torques externos em torno de um eixo é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
\sum \tau = I\,\alpha.
Aqui:
  • \sum \tau é a soma dos torques (em \mathrm{N\cdot m});
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo considerado (unidade: \mathrm{kg\cdot m^2}); representa a “resistência” do corpo a mudar seu estado rotacional (análogo da massa na translação);
  • \alpha é a aceleração angular (unidade: \mathrm{rad/s^2}).
  • Dessa relação obtemos diretamente
\alpha = \frac{\sum \tau}{I}.
Isto diz: quanto maior o torque aplicado, maior a aceleração angular; quanto maior o momento de inércia, menor a aceleração angular gerada pelo mesmo torque.

Passo 5

Derivação curta e intuitiva da relação \tau=I\alpha para entender de onde vem.
  • Considere uma partícula de massa m ligada a uma haste rígida e localizada a uma distância r do eixo. Se uma força tangencial F_t age sobre ela, a equação de Newton tangencial é
F_t = m\,a_t,
onde a_t é a aceleração tangencial. A relação entre aceleração tangencial e aceleração angular é
a_t = r\,\alpha.
  • O torque produzido por essa força é \tau = r F_t. Substituindo F_t=m a_t e a_t=r\alpha vem
\tau = r\,(m\,r\,\alpha) = m r^2 \alpha.
  • Identifica-se aqui I=m r^2 para uma partícula pontual; generalizando para um conjunto de partículas ou um corpo contínuo, soma-se (ou integra-se) e obtém-se a forma geral
\sum \tau = \left(\sum m_i r_i^2\right)\alpha = I\alpha.
  • Então \tau=I\alpha (ou \sum\tau=I\alpha quando há vários torques) é rigorosamente análoga a F=ma e é a razão direta entre torque e aceleração angular.

Passo 6

Consequências práticas e conexão com o item (a).
  • Se para um dado corpo rígido I é fixo (determinado pela massa e pela distribuição delas), então a aceleração angular que se obtém aplicando uma força F a uma distância r é
\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{r F \sin\theta}{I}.
  • Logo, para a mesma força F aplicada perpendicularmente ( \sin\theta=1), aumentar r (usar chave mais longa) aumenta \tau e, portanto, aumenta \alpha. É por isso que a chave longa não só reduz o esforço exigido para produzir o mesmo giro (mesmo torque com menos força), como também, aplicando a mesma força, gera maior aceleração angular do parafuso.
  • Exemplo numérico rápido: suponha um parafuso rígido com momento de inércia efetivo I=0{,}5\\ \mathrm{kg\cdot m^2} (valor só ilustrativo), e aplique F=10\\ \mathrm{N} perpendicularmente com uma chave de r=0{,}5\\ \mathrm{m}. Então \tau=0{,}5\cdot10=5\\ \mathrm{N\cdot m} e
\alpha=\frac{5}{0{,}5}=10\\ \mathrm{rad/s^2}.
Se a chave tivesse r=1{,}0\\ \mathrm{m} com a mesma força, \tau=10\\ \mathrm{N\cdot m} e \alpha=20\\ \mathrm{rad/s^2}: o dobro da aceleração angular.

Passo 7

Resumo prático e dicas para prova (forma curta e memorizável).
  • Fórmulas-chave: \tau = r F \sin\theta e \sum \tau = I \alpha.
  • Interpretação: chave mais longa \Rightarrow maior r \Rightarrow maior \tau para mesma F (ou menor F para mesmo \tau). Maior \tau leva, via \alpha=\tau/I, a maior aceleração angular.
  • Atenção ao ângulo: a força é mais eficaz quando aplicada perpendicularmente ( \theta=90^\circ). Use a regra da mão direita para identificar o sentido do torque.

Resposta

(a) Uma chave mais longa aumenta o braço da alavanca r, e como \tau = r F \sin\theta, para a mesma força aplicada ela gera maior torque; alternativamente, para obter um mesmo torque é necessária menos força quando r é maior.
(b) A relação entre torque e aceleração angular é dada por \sum \tau = I\,\alpha, ou seja \alpha = \dfrac{\sum \tau}{I}, onde I é o momento de inércia e \alpha a aceleração angular.

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