Questão 15 - Conservação do Momento Angular

Uma patinadora gira sobre si mesma com braços abertos. Ao fechar os braços junto ao corpo, sua velocidade de rotação aumenta.
a) Explique por que isso acontece, relacionando momento de inércia e momento angular.
b) Qual princípio físico está sendo aplicado nessa situação?

Passo 1

O enunciado descreve a seguinte situação: uma patinadora gira com os braços abertos e depois fecha os braços junto ao corpo; ao fazer isso, sua velocidade angular aumenta. As perguntas são:
(a) Explicar por que isso acontece, relacionando momento de inércia e momento angular.
(b) Identificar qual princípio físico está sendo aplicado nessa situação.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • A patinadora muda a distribuição de massa do corpo ao aproximar os braços do eixo de rotação.
  • Observa‑se uma variação na velocidade de rotação (aumenta).
  • Não foram fornecidos números; a explicação deve ser conceitual e com fórmulas gerais.

Passo 2

O que é momento de inércia e como ele depende da distribuição de massa.
Definição e fórmula:
I=\sum_{k} m_{k} r_{k}^{2}
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação, m_{k} é a massa do k-ésimo elemento e r_{k} é a distância desse elemento ao eixo. Para um corpo contínuo a soma vira integral:
I=\int r^{2}\,dm.
Significado das variáveis:
  • I: mede a “dificuldade” de fazer o corpo girar — quanto maior I, mais difícil é acelerar/alterar a rotação.
  • m_{k}: massa de uma parte do corpo.
  • r_{k}: distância dessa parte ao eixo de rotação.
Exemplo simples e intuitivo:
  • Duas massas iguais m presas a um bastão sem massa, cada uma a distância r do eixo: \;I=2mr^{2}.
    Se a patinadora aproxima os braços, r diminui e, portanto, I diminui rapidamente porque depende de r^{2}.

Passo 3

O que é momento angular e sua relação com o momento de inércia.
Definição para um corpo rígido em rotação em torno de um eixo:
L = I\,\omega,
onde L é o momento angular e \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
Significado das variáveis:
  • L: quantidade de “rotação” que o sistema possui; é um vetor, mas aqui tratamos do módulo em torno do eixo.
  • I: já definido no passo anterior.
  • \omega: rapidez angular de rotação.
Lei fundamental relacionada a torques:
\sum \tau_{\text{ext}} = \frac{dL}{dt},
onde \sum \tau_{\text{ext}} é o torque resultante externo. Se o torque externo resultante for nulo, então dL/dt=0 e L é constante (conservado).
Aplicação ao caso da patinadora: normalmente, durante o gesto de fechar os braços, o torque externo (atrito com o gelo, forças externas) é muito pequeno comparado às forças internas; então podemos aproximar \sum \tau_{\text{ext}}\approx 0 e assumir conservação do momento angular.

Passo 4

Aplicando a conservação do momento angular ao movimento da patinadora.
Se inicial e final são estados em que não há torque externo resultante, então
L_{\text{i}} = L_{\text{f}} \quad\Rightarrow\quad I_{\text{i}}\,\omega_{\text{i}} = I_{\text{f}}\,\omega_{\text{f}}.
Isolando \omega_{\text{f}}:
\omega_{\text{f}} = \frac{I_{\text{i}}}{I_{\text{f}}}\,\omega_{\text{i}}.
Conclusão direta:
  • Se ao fechar os braços a patinadora reduz o momento de inércia, isto é I_{\text{f}} < I_{\text{i}}, então \displaystyle\frac{I_{\text{i}}}{I_{\text{f}}}>1 e segue que \omega_{\text{f}}>\omega_{\text{i}}. Ou seja, a velocidade angular aumenta.
Exemplo numérico rápido para ficar concreto:
  • Suponha I_{\text{i}}=4{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} e I_{\text{f}}=1{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}, com \omega_{\text{i}}=1{,}5\\ \mathrm{rad/s}.
\omega_{\text{f}}=\frac{4{,}0}{1{,}0}\times 1{,}5 = 6{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
Ou seja, a velocidade aumenta por um fator \,I_{\text{i}}/I_{\text{f}}\,.

Passo 5

Comentário sobre energia e de onde vem o aumento de energia cinética rotacional.
Energia cinética rotacional:
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Comparando antes e depois:
K_{\text{i}}=\tfrac{1}{2}I_{\text{i}}\omega_{\text{i}}^{2},\qquad K_{\text{f}}=\tfrac{1}{2}I_{\text{f}}\omega_{\text{f}}^{2}.
Usando \omega_{\text{f}}=(I_{\text{i}}/I_{\text{f}})\omega_{\text{i}}:
K_{\text{f}}=\tfrac{1}{2}I_{\text{f}}\left(\frac{I_{\text{i}}}{I_{\text{f}}}\omega_{\text{i}}\right)^{2} =\tfrac{1}{2}\frac{I_{\text{i}}^{2}}{I_{\text{f}}}\omega_{\text{i}}^{2}.
Razão entre energias:
\frac{K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}=\frac{I_{\text{i}}}{I_{\text{f}}}.
Como I_{\text{i}}/I_{\text{f}}>1, a energia cinética rotacional aumenta. Essa energia extra não surge do nada: é fornecida pelo trabalho feito pelos músculos da patinadora ao aproximar os braços (forças internas que reconfiguram a distribuição de massa). Mesmo sem torque externo, forças internas podem realizar trabalho e alterar a energia cinética mantendo L constante.

Passo 6

Resposta direta à parte (b) e resumo físico do motivo.
Princípio aplicado: conservação do momento angular quando o torque externo resultante é nulo (ou desprezível). Em palavras simples: ao aproximar os braços a patinadora reduz I, e para manter L=I\omega constante a velocidade angular \omega aumenta.
Motivo resumido para lembrar na prova:
  • Aproximar massa do eixo → reduz I.
  • Com \sum \tau_{\text{ext}}\approx 0 L constante → \omega aumenta para compensar.
  • A energia extra vem do trabalho dos músculos.

Resposta

(a) Ao fechar os braços a patinadora diminui o momento de inércia I. Como o momento angular L é dado por L=I\omega e, na ausência de torque externo resultante, L se conserva, tem‑se I_{\text{i}}\omega_{\text{i}}=I_{\text{f}}\omega_{\text{f}}. Se I_{\text{f}}<I_{\text{i}} então \omega_{\text{f}}>\omega_{\text{i}}, ou seja, a velocidade angular aumenta.
(b) O princípio é a conservação do momento angular (quando o torque externo resultante é desprezível).

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