Questão 14) Use uma análise de teoria de grupos para atribuir os grupos pontuais para todos os isômeros cis e trans de \left[\mathrm{MA}_{2} \mathrm{~B}_{2} \mathrm{C}_{2}\right]. Use as tabelas de caracteres associadas com cada isômero para determinar se eles serão quirais ou não.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Atribuir os grupos pontuais para todos os isômeros (cis/trans) de \left[\mathrm{MA}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\right].
  • Usar as tabelas de caracteres associadas com cada isômero para determinar se cada isômero é quiral ou aquiral.
Informações dadas (explicitadas):
  • Complexo octaédrico com um centro metálico \mathrm{M} e seis pontos de coordenação ocupados por dois ligantes A, dois B e dois C.
  • Devemos reconhecer todos os arranjos geométricos distintos (isômeros geométricos) que surgem ao distribuir os pares A,A; B,B; C,C nos seis vértices da octaedra, e para cada arranjo identificar o grupo pontual e se é quiral ou não.

Passo 2

Quantos isômeros geométricos existem e como classificá-los (visão geral, sem resolver ainda):
  • Num octaedro as posições são naturalmente organizadas em três eixos ortogonais (pares opostos): pense em \pm x, \pm y, \pm z.
  • Cada par idêntico ( A, B, C) pode ocupar posições que sejam trans (opostas) ou cis (adjacentes).
  • Os arranjos distintos possíveis, não equivalentes por rotação, reduzem-se a três padrões essenciais:
    1. Todas as três pares são trans (cada par ocupa um eixo distinto, i.e. A em \pm z, B em \pm x, C em \pm y).
    2. Exatamente um par é trans e os outros dois pares são cis (por exemplo A em \pm z; os dois B cis em posições equatoriais adjacentes; os dois C nas posições restantes adjacentes).
    3. Nenhum par é trans (todos os pares são cis — cada par ocupa posições adjacentes, não opostas).
  • Logo: existem três isômeros geométricos distintos para \mathrm{MA}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2. Nos próximos passos vamos analisar a simetria de cada um.

Passo 3

Recapitulando conceitos de teoria de grupos úteis aqui (mini-aula):
  • Elementos de simetria relevantes: E (identidade), rotações C_n, plano de reflexão \sigma, centro de inversão i, ejeção rotacional imprópria S_n.
  • Grupo pontual: conjunto de todas as operações de simetria que deixam a geometria inalterada; denotado por símbolos como D_{2h},C_{2v},D_2, etc.
  • Critério de quiralidade via grupo pontual: uma molécula é quiral se e somente se o seu grupo pontual não contém nenhum elemento de simetria impróprio, ou seja, não tem planos de reflexão \sigma, nem centro de inversão i, nem eixos de rotação imprópria S_n (a presença apenas de rotações próprias C_n e da identidade ainda permite quiralidade).
  • Tabela de caracteres: organiza as classes de simetria do grupo e as representações irreducíveis. Para avaliar quiralidade, não precisamos decompor funções; basta olhar se a tabela (ou seja o próprio grupo) contém \sigma, i ou S_n. Se contiver, o isômero é aquiral; se não contiver, pode ser quiral (em particular aqui, D_2 é um grupo que permite quiralidade).

Passo 4

Isômero 1 — todos os três pares trans (padrão “trans,trans,trans”):
  • Construção geométrica mental: ponha A em \pm z, B em \pm x, C em \pm y.
  • Operações de simetria que preservam esse arranjo:
    • E.
    • Três rotações de 180^\circ (três eixos C_2 ao longo de x,y,z): C_{2}(x),C_{2}(y),C_{2}(z).
    • Centro de inversão i (cada vértice vai para o oposto com o mesmo tipo de ligante).
    • Três planos de reflexão: \sigma_{xy},\sigma_{xz},\sigma_{yz}.
  • Conclusão do grupo pontual: conjunto acima é exatamente o grupo D_{2h}.
  • Uso da tabela de caracteres (resumo útil): o próprio conjunto de operações (classes) de D_{2h} inclui \sigma e i. Pela regra de quiralidade, a presença de planos de reflexão e/ou centro de inversão torna a molécula aquiral.
  • Resultado: isômero “todos trans” → grupo pontual \;D_{2h} e é aquiral.

Passo 5

Isômero 2 — exatamente um par trans, outros dois pares cis (padrão “um trans, dois cis”):
  • Exemplo de posicionamento: A em \pm z (trans), escolha B em +x e +y (cis) e C em -x e -y (cis). Esse é um representante do caso “1 trans, 2 cis”.
  • Que operações de simetria preservam este arranjo?
    • E.
    • Uma rotação de 180^\circ ao longo do eixo que liga os centros dos ligantes trans ( C_{2}(z)). Essa rotação troca +x\leftrightarrow -x e +y\leftrightarrow -y e, pela construção escolhida, leva B em (+x,+y) em ( -x,-y) trocando B\leftrightarrow C; portanto, para que haja simetria essa rotação deve trocar conjuntos de ligantes iguais — no arranjo mostrado essa rotação preserva a distribuição porque os pares B e C estão colocados de forma que a operação corresponde a refletir entre as metades (é útil desenhar para ver).
    • Dois planos de reflexão verticais que contêm o eixo z e dividem os pares B e C apropriadamente (essas são \sigma_v que trocam +x com +y ou +x com -y dependendo da escolha; na configuração mostrada existem dois planos perpendiculares que deixam a distribuição inalterada).
  • Essas operações formam o grupo C_{2v}: classes E,\;C_2,\;\sigma_v,\;\sigma_v'.
  • Tabela de caracteres (resumida): C_{2v} contém \sigma. Assim, a presença de pelo menos um plano \sigma implica que esse isômero é aquiral.
  • Observação prática: existe apenas um tipo geométrico com “um par trans, dois cis” (até equivalência por rotação), e seu grupo é C_{2v}.
  • Resultado: isômero “um trans, dois cis” → grupo pontual \;C_{2v} e é aquiral.

Passo 6

Isômero 3 — nenhum par é trans (todos os pares são cis; padrão “todos cis”):
  • Construção geométrica mental: disponha os dois A em posições adjacentes (cis), os dois B em outro par de posições adjacentes e os dois C nas duas posições restantes adjacentes, de modo que nenhum par ocupe posições opostas.
  • Operações de simetria remanescentes:
    • E.
    • Três eixos de rotação de 180^\circ ( C_{2} em três direções perpendiculares). Essas rotações trocam pares de vértices entre si, mas não geram planos de reflexão nem inversão que deixem a distribuição inalterada.
    • Não há plano de reflexão \sigma que deixe o arranjo inalterado, não há centro de inversão i, e não há eixos impróprios S_n.
  • O conjunto \{E,\,C_{2}(x),\,C_{2}(y),\,C_{2}(z)\} é o grupo D_{2}.
  • Tabela de caracteres (resumida): D_{2} não contém \sigma, nem i, nem S_n. Pelo critério de quiralidade, a ausência de elementos impróprios permite quiralidade.
  • Consequência prática: o isômero com grupo D_{2} é quiral — ele existe como um par de enantiômeros (imagem e sua anti-imagem não superponíveis).
  • Resultado: isômero “todos cis” → grupo pontual \;D_{2} e é quiral (há dois enantiômeros).

Passo 7

Resumo e como usar a tabela de caracteres para decidir quiralidade (pequeno manual prático):
  • Se você tiver o grupo pontual e olhar a sua tabela de caracteres, basta verificar se o grupo possui alguma das classes correspondentes a \sigma, i ou S_n.
    • Se tiver qualquer uma delas → molécula é aquiral.
    • Se não tiver → molécula pode ser quiral (aqui, D_2 é exemplo clássico de grupo pontual que permite quiralidade).
  • Exemplos rápidos (para memorizar):
    • D_{2h}: tem \sigma e i → aquiral.
    • C_{2v}: tem \sigma → aquiral.
    • D_{2}: só E e C_2's → pode ser quiral.

Resposta

Isômero com todos os pares trans: D_{2h} — aquiral.
Isômero com exatamente um par trans e dois pares cis: C_{2v} — aquiral.
Isômero com nenhum par trans (todos os pares cis): D_{2} — quiral (existe como par de enantiômeros).

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