Questão 14) Use uma análise de teoria de grupos para atribuir os grupos pontuais para todos os isômeros cis e trans de
. Use as tabelas de caracteres associadas com cada isômero para determinar se eles serão quirais ou não.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Atribuir os grupos pontuais para todos os isômeros (cis/trans) de
. - Usar as tabelas de caracteres associadas com cada isômero para determinar se cada isômero é quiral ou aquiral.
Informações dadas (explicitadas):
- Complexo octaédrico com um centro metálico
e seis pontos de coordenação ocupados por dois ligantes , dois e dois . - Devemos reconhecer todos os arranjos geométricos distintos (isômeros geométricos) que surgem ao distribuir os pares
; ; nos seis vértices da octaedra, e para cada arranjo identificar o grupo pontual e se é quiral ou não.
Passo 2
Quantos isômeros geométricos existem e como classificá-los (visão geral, sem resolver ainda):
- Num octaedro as posições são naturalmente organizadas em três eixos ortogonais (pares opostos): pense em
, , . - Cada par idêntico (
, , ) pode ocupar posições que sejam trans (opostas) ou cis (adjacentes). - Os arranjos distintos possíveis, não equivalentes por rotação, reduzem-se a três padrões essenciais:
- Todas as três pares são trans (cada par ocupa um eixo distinto, i.e.
em , em , em ). - Exatamente um par é trans e os outros dois pares são cis (por exemplo
em ; os dois cis em posições equatoriais adjacentes; os dois nas posições restantes adjacentes). - Nenhum par é trans (todos os pares são cis — cada par ocupa posições adjacentes, não opostas).
- Todas as três pares são trans (cada par ocupa um eixo distinto, i.e.
- Logo: existem três isômeros geométricos distintos para
. Nos próximos passos vamos analisar a simetria de cada um.
Passo 3
Recapitulando conceitos de teoria de grupos úteis aqui (mini-aula):
- Elementos de simetria relevantes:
(identidade), rotações , plano de reflexão , centro de inversão , ejeção rotacional imprópria . - Grupo pontual: conjunto de todas as operações de simetria que deixam a geometria inalterada; denotado por símbolos como
, etc. - Critério de quiralidade via grupo pontual: uma molécula é quiral se e somente se o seu grupo pontual não contém nenhum elemento de simetria impróprio, ou seja, não tem planos de reflexão
, nem centro de inversão , nem eixos de rotação imprópria (a presença apenas de rotações próprias e da identidade ainda permite quiralidade). - Tabela de caracteres: organiza as classes de simetria do grupo e as representações irreducíveis. Para avaliar quiralidade, não precisamos decompor funções; basta olhar se a tabela (ou seja o próprio grupo) contém
, ou . Se contiver, o isômero é aquiral; se não contiver, pode ser quiral (em particular aqui, é um grupo que permite quiralidade).
Passo 4
Isômero 1 — todos os três pares trans (padrão “trans,trans,trans”):
- Construção geométrica mental: ponha
em , em , em . - Operações de simetria que preservam esse arranjo:
-
. - Três rotações de
(três eixos ao longo de ): . - Centro de inversão
(cada vértice vai para o oposto com o mesmo tipo de ligante). - Três planos de reflexão:
.
-
- Conclusão do grupo pontual: conjunto acima é exatamente o grupo
. - Uso da tabela de caracteres (resumo útil): o próprio conjunto de operações (classes) de
inclui e . Pela regra de quiralidade, a presença de planos de reflexão e/ou centro de inversão torna a molécula aquiral. - Resultado: isômero “todos trans” → grupo pontual
e é aquiral.
Passo 5
Isômero 2 — exatamente um par trans, outros dois pares cis (padrão “um trans, dois cis”):
- Exemplo de posicionamento:
em (trans), escolha em e (cis) e em e (cis). Esse é um representante do caso “1 trans, 2 cis”. - Que operações de simetria preservam este arranjo?
-
. - Uma rotação de
ao longo do eixo que liga os centros dos ligantes trans ( ). Essa rotação troca e e, pela construção escolhida, leva em em trocando ; portanto, para que haja simetria essa rotação deve trocar conjuntos de ligantes iguais — no arranjo mostrado essa rotação preserva a distribuição porque os pares B e C estão colocados de forma que a operação corresponde a refletir entre as metades (é útil desenhar para ver). - Dois planos de reflexão verticais que contêm o eixo
e dividem os pares e apropriadamente (essas são que trocam +x com +y ou +x com -y dependendo da escolha; na configuração mostrada existem dois planos perpendiculares que deixam a distribuição inalterada).
-
- Essas operações formam o grupo
: classes . - Tabela de caracteres (resumida):
contém . Assim, a presença de pelo menos um plano implica que esse isômero é aquiral. - Observação prática: existe apenas um tipo geométrico com “um par trans, dois cis” (até equivalência por rotação), e seu grupo é
. - Resultado: isômero “um trans, dois cis” → grupo pontual
e é aquiral.
Passo 6
Isômero 3 — nenhum par é trans (todos os pares são cis; padrão “todos cis”):
- Construção geométrica mental: disponha os dois
em posições adjacentes (cis), os dois em outro par de posições adjacentes e os dois nas duas posições restantes adjacentes, de modo que nenhum par ocupe posições opostas. - Operações de simetria remanescentes:
-
. - Três eixos de rotação de
( em três direções perpendiculares). Essas rotações trocam pares de vértices entre si, mas não geram planos de reflexão nem inversão que deixem a distribuição inalterada. - Não há plano de reflexão
que deixe o arranjo inalterado, não há centro de inversão , e não há eixos impróprios .
-
- O conjunto
é o grupo . - Tabela de caracteres (resumida):
não contém , nem , nem . Pelo critério de quiralidade, a ausência de elementos impróprios permite quiralidade. - Consequência prática: o isômero com grupo
é quiral — ele existe como um par de enantiômeros (imagem e sua anti-imagem não superponíveis). - Resultado: isômero “todos cis” → grupo pontual
e é quiral (há dois enantiômeros).
Passo 7
Resumo e como usar a tabela de caracteres para decidir quiralidade (pequeno manual prático):
- Se você tiver o grupo pontual e olhar a sua tabela de caracteres, basta verificar se o grupo possui alguma das classes correspondentes a
, ou . - Se tiver qualquer uma delas → molécula é aquiral.
- Se não tiver → molécula pode ser quiral (aqui,
é exemplo clássico de grupo pontual que permite quiralidade).
- Exemplos rápidos (para memorizar):
-
: tem e → aquiral. -
: tem → aquiral. -
: só e 's → pode ser quiral.
-
Resposta
Isômero com todos os pares trans:
— aquiral.
Isômero com exatamente um par trans e dois pares cis: — aquiral.
Isômero com nenhum par trans (todos os pares cis): — quiral (existe como par de enantiômeros).
Isômero com exatamente um par trans e dois pares cis:
Isômero com nenhum par trans (todos os pares cis):