Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n} ]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \,a_{n}\, dada por
a_{n}=\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{n}
é convergente e, se for, calcular o seu limite. As informações relevantes são:
  • A sequência está indexada por n\in\mathbb{N}.
  • O termo geral é \,a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{3n}\right)^{n}.
  • Precisamos decidir convergência e, quando convergente, encontrar \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explico o porquê): quando um termo tem a forma \,(1+\text{algo pequeno})^{\text{algo grande}}, é muito eficiente tomar logaritmo natural para transformar potência em produto. Depois recuperamos a sequência original exponenciando, usando que a função exponencial é contínua. Vou usar também o limite clássico
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1,
que é a ferramenta que permite avaliar o produto que aparece ao tomar logaritmo. Essas são propriedades básicas de limites e continuidade.

Passo 3

Calculo o logaritmo natural do termo geral para transformar a potência em produto:
\ln a_{n}= \; n\ln\!\left(1+\frac{1}{3n}\right).
Reescrevo esse produto de forma conveniente (multiplicando e dividindo por 1/(3n)):
\ln a_{n} = \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{3n}\right)}{\dfrac{1}{3n}}\cdot \frac{1}{3}.
Aqui separei em dois fatores: o primeiro é uma razão que lembra \dfrac{\ln(1+t)}{t} com t=\dfrac{1}{3n}; o segundo é a constante \dfrac{1}{3}.

Passo 4

Analiso o limite do primeiro fator. Defina t_n=\dfrac{1}{3n}; então t_n\to 0 quando n\to\infty e
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{3n}\right)}{\dfrac{1}{3n}} = \frac{\ln(1+t_n)}{t_n}.
Usamos o limite conhecido
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Uma justificativa rápida desse limite é aplicar a Regra de L’Hôpital: ao ver \dfrac{0}{0}, derivamos numerador e denominador em t e obtemos
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{\dfrac{1}{1+t}}{1} = \frac{1}{1+0}=1.
Portanto o primeiro fator tende a 1.

Passo 5

Como o primeiro fator tende a 1 e o segundo fator é a constante \dfrac{1}{3}, pelo produto de limites temos
\lim_{n\to\infty}\ln a_{n} = 1\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.
Agora uso a continuidade da função exponencial: se \ln a_{n}\to \dfrac{1}{3}, então
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_{n}} = e^{\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}} = e^{1/3}.

Passo 6

Conclusão em palavras amigáveis: a sequência \left(1+\dfrac{1}{3n}\right)^{n} converge, porque o logaritmo do termo converge para \dfrac{1}{3}; portanto a própria sequência converge para e^{1/3}. Bom trabalho — essa técnica (tomar logaritmo e usar \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1) é uma receita que aparece muito em provas e vale decorar!

Resposta

e^{1/3}

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