Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n} ]
[ a_{n}=\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n} ]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
dada por
é convergente e, se for, calcular o seu limite. As informações relevantes são:
- A sequência está indexada por
. - O termo geral é
. - Precisamos decidir convergência e, quando convergente, encontrar
.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explico o porquê): quando um termo tem a forma
, é muito eficiente tomar logaritmo natural para transformar potência em produto. Depois recuperamos a sequência original exponenciando, usando que a função exponencial é contínua. Vou usar também o limite clássico
que é a ferramenta que permite avaliar o produto que aparece ao tomar logaritmo. Essas são propriedades básicas de limites e continuidade.
Passo 3
Calculo o logaritmo natural do termo geral para transformar a potência em produto:
Reescrevo esse produto de forma conveniente (multiplicando e dividindo por
):
Aqui separei em dois fatores: o primeiro é uma razão que lembra
com
; o segundo é a constante
.
Passo 4
Analiso o limite do primeiro fator. Defina
; então
quando
e
Usamos o limite conhecido
Uma justificativa rápida desse limite é aplicar a Regra de L’Hôpital: ao ver
, derivamos numerador e denominador em
e obtemos
Portanto o primeiro fator tende a
.
Passo 5
Como o primeiro fator tende a
e o segundo fator é a constante
, pelo produto de limites temos
Agora uso a continuidade da função exponencial: se
, então
Passo 6
Conclusão em palavras amigáveis: a sequência
converge, porque o logaritmo do termo converge para
; portanto a própria sequência converge para
. Bom trabalho — essa técnica (tomar logaritmo e usar
) é uma receita que aparece muito em provas e vale decorar!