Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=\sqrt[n]{a}, a>0 ]
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral \,a_{n}=\sqrt[n]{a}\, com a>0 e pede para determinar se essa sequência é convergente e, em caso afirmativo, calcular o limite \lim_{n\to\infty}a_{n}.
Informações dadas e o que é pedido:
Dado: a>0 (constante fixa).
Sequência: \,a_{n}=\sqrt[n]{a}= a raiz n-ésima de a.
Pedido: decidir se \,(a_n)\, converge quando n\to\infty e, se convergir, calcular \lim_{n\to\infty}a_{n}.
Passo 2
Caso especial simples: se a=1 então, para todo n,
a_{n}=\sqrt[n]{1}=1.
Logo a sequência é constante igual a 1 e, portanto,
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.
Esse caso já está resolvido.
Passo 3
Para o caso geral a>0 (incluindo a\neq1), é muito prático trabalhar com o logaritmo natural. Defino a sequência
b_{n}=\ln(a_{n}).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(x^{r})=r\ln x (válida para x>0 e qualquer real r), temos
b_{n}=\ln\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)=\ln\bigl(a^{1/n}\bigr)=\frac{1}{n}\ln a.
Aqui expliquei a propriedade: quando você tira log de uma potência, o expoente sai multiplicando o logaritmo — isso vem diretamente das regras dos logaritmos.
Passo 4
Agora calculo o limite de b_{n}. Note que \ln a é uma constante (fixa), então b_{n} é a sequência constante dividida por n:
b_{n}=\frac{\ln a}{n}.
Usamos a propriedade básica de limites de sequência: se c é constante então \lim_{n\to\infty}\frac{c}{n}=0. Para ver de forma elementar (epsilon‑N): dado \varepsilon>0, escolha N>\dfrac{|\ln a|}{\varepsilon}. Para todo n\ge N,
Relacionando de volta a a_{n}: temos a_{n}=e^{b_{n}} porque e^{\ln x}=x para x>0. Usamos agora uma propriedade importante de análise: se b_{n}\to L e f é contínua em L, então f(b_{n})\to f(L). A função exponencial f(x)=e^{x} é contínua em todo lugar, logo aplicando essa propriedade obtemos
Conclusão combinada com o caso a=1: para todo a>0 (qualquer constante positiva), a sequência \,a_{n}=\sqrt[n]{a}\, converge e seu limite é 1. Intuição rápida: tirar raízes cada vez maiores “aproxima” qualquer número positivo de 1 (por exemplo \sqrt[n]{4} e \sqrt[n]{0,25} ambos tendem a 1 quando n cresce).
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=1.