Questão 15 - Determine o valor numérico de A , sabendo que:
A=\sqrt{48+\frac{1}{1+\log _{a} b c}+\frac{1}{1+\log _{b} a c}+\frac{1}{1+\log _{c} a b}}

Passo 1

O enunciado pede o valor numérico de
A=\sqrt{48+\frac{1}{1+\log_{a}(bc)}+\frac{1}{1+\log_{b}(ac)}+\frac{1}{1+\log_{c}(ab)}}.
O conteúdo principal é manipulação de logaritmos, usando a mudança de base e as propriedades \log_{x}(yz)=\log_{x}y+\log_{x}z e \log_{y}x=\frac{1}{\log_{x}y}.

Passo 2

Definimos
p=\log_{a}b \quad\text{e}\quad q=\log_{a}c.
Então \log_{a}(bc)=\log_{a}b+\log_{a}c=p+q.
Pela mudança de base, \log_{b}a=\frac{1}{\log_{a}b}=\frac{1}{p}
e \log_{b}c=\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}=\frac{q}{p},
logo \log_{b}(ac)=\log_{b}a+\log_{b}c=\frac{1}{p}+\frac{q}{p}=\frac{1+q}{p}.
Analogamente, \log_{c}a=\frac{1}{q} e \log_{c}b=\frac{p}{q},
portanto \log_{c}(ab)=\frac{1}{q}+\frac{p}{q}=\frac{1+p}{q}.

Passo 3

Agora expressamos cada denominador em função de p+q+1:
1)
1+\log_{a}(bc)=1+(p+q)=p+q+1.
1+\log_{b}(ac) =1+\frac{1+q}{p} =\frac{p+(1+q)}{p} =\frac{p+q+1}{p}.
1+\log_{c}(ab) =1+\frac{1+p}{q} =\frac{q+(1+p)}{q} =\frac{p+q+1}{q}.

Passo 4

As frações somam-se assim:
\frac{1}{p+q+1} +\frac{1}{\tfrac{p+q+1}{p}} +\frac{1}{\tfrac{p+q+1}{q}} =\frac{1}{p+q+1} +\frac{p}{p+q+1} +\frac{q}{p+q+1} =\frac{1+p+q}{p+q+1} =1.
Logo o que está dentro da raiz é
48 + 1 = 49.

Resposta

A=\sqrt{49}=7.

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