Questão 15 -
Imagine um túnel liso ao longo de uma corda não rotativa na Terra à uma distância R/2 do centro, em que R é o raio da Terra. Um projétil é disparado ao longo do túnel a partir do centro do túnel com velocidade
. A aceleração da gravidade na superfície da Terra vale g e que a sua densidade é constante.
A distância máxima do projétil do centro da Terra durante seu curso de movimento vale:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
Imagine um túnel liso ao longo de uma corda não rotativa na Terra à uma distância R/2 do centro, em que R é o raio da Terra. Um projétil é disparado ao longo do túnel a partir do centro do túnel com velocidade
A distância máxima do projétil do centro da Terra durante seu curso de movimento vale:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado descreve um túnel reto, sem atrito, cavado ao longo de um diâmetro deslocado de modo que o maior afastamento do centro da Terra ao túnel seja
. Um projétil parte do ponto médio do túnel (onde sua distância ao centro é
) com velocidade inicial
sendo
a aceleração na superfície e a Terra de densidade uniforme.
Queremos a distância máxima do projétil ao centro, usando conservação de energia e, após sair do túnel, conservação também de momento angular.
Queremos a distância máxima
Passo 2
Para r dentro da Terra (densidade uniforme) o potencial gravitacional por unidade de massa é
onde
. Logo
No ponto inicial
temos
e a energia mecânica total por massa
Passo 3
Ao chegar ao final do túnel, em
, a energia interna é
e como
segue
logo
Passo 4
Geométricamente o túnel é a reta horizontal em
, de
a
. No ponto de saída
o vetor velocidade é tangente ao túnel, isto é
. O versor radial é
então o ângulo
entre
e a direção radial satisfaz
isto é
.
Passo 5
Fora do túnel, para
, o potencial é
e mantêm-se
. O momento angular por unidade de massa é
em
resulta
Passo 6
No ponto de inversão
a componente radial da velocidade zera e sobra
Substituindo
e
:
Multiplicando por
obtemos
A solução física é