Questão 13 -
Um satélite está orbitando em torno da Terra em uma órbita circular. Sua velocidade orbital é Vo. Um foguete a bordo é disparado do satélite que transmite um impulso ao satélite dirigido radialmente para longe do centro da Terra. A duração da queima do motor é desprezível, podendo ser considerada instantânea.
a) Devido a este impulso, uma variação de velocidade
é transmitida ao satélite. Encontre o valor mínimo da razão
para o qual o satélite escapará do campo gravitacional da Terra.
b) Suponha agora que a órbita circular do satélite tenha raio
. Encontre
para o qual a distância máxima do satélite ao centro da Terra se torne 2 R após o foguete ser lançado.
a) Devido a este impulso, uma variação de velocidade
b) Suponha agora que a órbita circular do satélite tenha raio
Passo 1
O enunciado descreve um satélite em órbita circular de raio
com velocidade orbital
. Um impulso radial
é aplicado instantaneamente, alterando a energia e mantendo o momento angular.
Na parte (a) queremos a razão mínima para que o satélite escape do campo gravitacional da Terra.
Na parte (b) queremos tal que a distância máxima ao centro da Terra seja
.
O conteúdo envolvido é mecânica orbital: conservação de energia e momento angular, elementos de órbita (semieixo maior e excentricidade).
Na parte (a) queremos a razão mínima
Na parte (b) queremos
O conteúdo envolvido é mecânica orbital: conservação de energia e momento angular, elementos de órbita (semieixo maior e excentricidade).
Passo 2
Para a parte (a) usamos a energia específica (por unidade de massa). A energia inicial específica é
onde
é o parâmetro gravitacional da Terra. Após o impulso radial
, a energia específica fica
Para escapar é necessário
.
Passo 3
Usando
, a condição
é
Logo, a razão mínima é
Passo 4
Para a parte (b) definimos a energia específica após o impulso e o momento angular específico:
A partir daí, o semieixo maior
e a excentricidade
da nova órbita são dados por
Passo 5
Defina
. Então
Substituindo encontra-se
Passo 6
O apocentro da órbita vale
Exigindo
dá
Portanto
.
Resposta
(a)
(b)
(b)