Questão 13 -

Um satélite está orbitando em torno da Terra em uma órbita circular. Sua velocidade orbital é Vo. Um foguete a bordo é disparado do satélite que transmite um impulso ao satélite dirigido radialmente para longe do centro da Terra. A duração da queima do motor é desprezível, podendo ser considerada instantânea.
a) Devido a este impulso, uma variação de velocidade \Delta \mathrm{V} é transmitida ao satélite. Encontre o valor mínimo da razão \Delta V / V_{0} para o qual o satélite escapará do campo gravitacional da Terra.
b) Suponha agora que a órbita circular do satélite tenha raio R. Encontre \Delta \mathrm{V} / \mathrm{V}_{0} para o qual a distância máxima do satélite ao centro da Terra se torne 2 R após o foguete ser lançado.

Passo 1

O enunciado descreve um satélite em órbita circular de raio R com velocidade orbital V_0. Um impulso radial \Delta V é aplicado instantaneamente, alterando a energia e mantendo o momento angular.
Na parte (a) queremos a razão mínima \Delta V / V_{0} para que o satélite escape do campo gravitacional da Terra.
Na parte (b) queremos \Delta V / V_{0} tal que a distância máxima ao centro da Terra seja 2R.
O conteúdo envolvido é mecânica orbital: conservação de energia e momento angular, elementos de órbita (semieixo maior e excentricidade).

Passo 2

Para a parte (a) usamos a energia específica (por unidade de massa). A energia inicial específica é
\epsilon_{0} = -\frac{\mu}{2R},
onde \mu = GM é o parâmetro gravitacional da Terra. Após o impulso radial \Delta V, a energia específica fica
\epsilon = \epsilon_{0} + \frac{(\Delta V)^{2}}{2}.
Para escapar é necessário \epsilon \ge 0.

Passo 3

Usando V_{0}^{2} = \mu/R, a condição \epsilon\ge0 é
-\frac{\mu}{2R} + \frac{(\Delta V)^{2}}{2} \ge 0
\Longrightarrow (\Delta V)^{2} \ge \frac{\mu}{R}
\Longrightarrow \Delta V \ge \sqrt{\frac{\mu}{R}} = V_{0}.
Logo, a razão mínima é
\frac{\Delta V}{V_{0}} = 1.

Passo 4

Para a parte (b) definimos a energia específica após o impulso e o momento angular específico:
\epsilon = \frac{(\Delta V)^{2}}{2} - \frac{\mu}{2R}, \qquad h = R\,V_{0}.
A partir daí, o semieixo maior a e a excentricidade e da nova órbita são dados por
a = -\frac{\mu}{2\epsilon}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2\,\epsilon\,h^{2}}{\mu^{2}}}.

Passo 5

Defina x = \Delta V / V_{0}. Então
\epsilon = \frac{V_{0}^{2}(x^{2}-1)}{2} = \frac{\mu\,(x^{2}-1)}{2R}, \qquad h^{2} = R^{2}V_{0}^{2} = \mu R.
Substituindo encontra-se
a = \frac{R}{1 - x^{2}}, \qquad e = \sqrt{1 + (x^{2}-1)} = x.

Passo 6

O apocentro da órbita vale
r_{a} = a\,(1+e) = \frac{R}{1 - x^{2}}\,(1 + x) = \frac{R}{1 - x}.
Exigindo r_{a} = 2R
\frac{R}{1 - x} = 2R \quad\Longrightarrow\quad 1 - x = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac12.
Portanto \Delta V/V_{0} = 1/2.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\Delta V}{V_{0}} = 1.
(b) \displaystyle \frac{\Delta V}{V_{0}} = \tfrac12.

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