Questão 15

Uma linha de carga infinita está posicionada ao longo do eixo z e contém uma densidade linear uniforme de carga de \rho_{l} \mathrm{C} / \mathrm{m}. Uma casca cilíndrica, perfeitamente condutora, cujo eixo coincide com o eixo z, envolve a linha de carga. O cilindro de raio b está no mesmo potencial da terra (i.e. zero volts). De acordo com essas condições, ad função potencial no interior do cilindro ( \rho<b ) é dada por:
V(\rho)=k-\frac{\rho_{l}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln (\rho)
em que k é um constante. Com base nestas informações determine:
a) A constante k expressa em termos dos parâmetros conhecidos ( \rho_{0} \mathrm{e} b );
b) A intensidade de campo elétrico ( \boldsymbol{E} ), para \rho<b;
c) A intensidade de campo elétrico ( \boldsymbol{E} ), para \rho>b;
d) A energia armazenada no campo elétrico, por unidade de comprimento, na direção z , no interior do volume definido por \rho>a, sendo a<b.

Passo 1

O enunciado dá uma linha de carga infinita ao longo do eixo z com densidade linear de carga \rho_{l} (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}), e um cilindro condutor coaxial, de raio b, mantido no potencial da terra (zero volts). No interior do cilindro ( \rho<b) o potencial é informado como
V(\rho)=k-\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(\rho),
onde k é uma constante desconhecida. As perguntas são:
a) determinar a constante k em função de \rho_{l} e b;
b) achar a intensidade do campo elétrico \boldsymbol{E} para \rho<b;
c) achar a intensidade do campo elétrico \boldsymbol{E} para \rho>b;
d) calcular a energia armazenada no campo elétrico, por unidade de comprimento na direção z, no interior do volume definido por \rho>a, com a<b (interpreto isto como a energia por unidade de comprimento no anel coaxial a<\rho<b).

Passo 2

(Determinar k usando a condição de contorno)
Explicação rápida: o cilindro condutor está aterrado, ou seja, seu potencial elétrico é 0 no raio \rho=b. Então basta impor V(b)=0 na expressão do potencial para achar k. Aplicando:
0=V(b)=k-\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(b).
Isolando k obtemos
k=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(b).
Isso significa que o potencial no interior fica ancorado por essa constante para que em \rho=b tenhamos zero volts.

Passo 3

(Encontrar \boldsymbol{E} para \rho<b a partir do potencial)
Relembrando a relação entre potencial e campo: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial,
\boldsymbol{E}=-\nabla V.
Num sistema cilíndrico com simetria azimutal e independente de z, apenas a componente radial depende de \rho, e
E_{\rho}=-\frac{dV}{d\rho}.
Usando V(\rho)=\dfrac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(b)-\dfrac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(\rho) (substituímos k do Passo 2),
calculamos a derivada:
\frac{dV}{d\rho}=-\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}.
Portanto
E_{\rho}=-\left(-\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}\right)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}.
Escrevendo o vetor campo na direção radial externa:
\boldsymbol{E}(\rho)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\qquad(\rho<b).
Interpretação física: para \rho_l>0 o campo aponta para fora e decai como 1/\rho, como esperado de uma linha de carga.

Passo 4

(Verificação alternativa por Lei de Gauss para \rho<b)
Breve aula: a Lei de Gauss em forma integral diz que para uma superfície cilíndrica coaxial de raio \rho e comprimento L,
\oint \varepsilon_{0}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{A}=Q_{\text{int}}.
Aqui Q_{\text{int}}=\rho_{l}L (carga da linha dentro do cilindro). O fluxo pela superfície lateral é \varepsilon_{0}E_{\rho}(2\pi\rho L). Assim
\varepsilon_{0}E_{\rho}(2\pi\rho L)=\rho_{l}L \quad\Rightarrow\quad E_{\rho}=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho},
o que confirma o resultado do Passo 3.

Passo 5

(Comportamento para \rho>b: por que \boldsymbol{E}=0 fora do cilindro aterrado)
Explicação passo a passo e física: dentro do metal condutor o campo elétrico tem que ser zero em equilíbrio estático. Isso obriga o surgimento de cargas induzidas na superfície interna do cilindro de modo que o campo dentro do metal seja nulo. A carga induzida total na face interna do condutor é -\rho_{l}L (por comprimento L), de forma que a soma das cargas “enclausuradas” por uma superfície gaussiana de raio \rho>b é \rho_{l}L + (-\rho_{l}L)=0. Além disso, sendo o cilindro aterrado, qualquer carga extra na casca pode fluir para a terra, de modo que não permanece carga líquida na casca externa. Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície cilíndrica de raio \rho>b obtemos
\varepsilon_{0}E_{\rho}(2\pi\rho L)=Q_{\text{int,\,total}}=0,
logo
\boldsymbol{E}(\rho)=\boldsymbol{0}\qquad(\rho>b).
Resumo físico curto: o condutor aterrado cancela o efeito da linha de carga para fora do cilindro; portanto fora do cilindro o campo é nulo.

Passo 6

(Cálculo da energia armazenada por unidade de comprimento no anel a<\rho<b)
Primeiro, fórmulas úteis: a densidade de energia elétrica em um ponto é
u(\boldsymbol{r})=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}|\boldsymbol{E}|^{2}.
Queremos a energia por unidade de comprimento na direção z; ou seja, tomar um comprimento L e depois dividir por L, ou integrar usando diretamente elemento de volume por unidade de comprimento: dV_{\text{por }L}=2\pi\rho\,d\rho (já que multiplicar por L 2\pi\rho L\,d\rho). Usando \boldsymbol{E}(\rho)=\dfrac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}} do Passo 3, temos
|\boldsymbol{E}|^{2}=\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}\rho^{2}}.
Logo a densidade de energia é
u(\rho)=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\cdot\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}\rho^{2}}=\frac{\rho_{l}^{2}}{8\pi^{2}\varepsilon_{0}\,\rho^{2}}.
A energia por unidade de comprimento U' no intervalo a\le\rho\le b é a integral
U'=\int_{a}^{b} u(\rho)\,2\pi\rho\,d\rho.
Substituindo u(\rho):
U'=\int_{a}^{b}\frac{\rho_{l}^{2}}{8\pi^{2}\varepsilon_{0}\,\rho^{2}}\;2\pi\rho\,d\rho =\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{a}^{b}\frac{1}{\rho}\,d\rho.
A integral de 1/\rho é o logaritmo:
\int_{a}^{b}\frac{1}{\rho}\,d\rho=\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Portanto
U'=\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).

Resposta

a) k=\dfrac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(b)
b) \displaystyle \boldsymbol{E}(\rho)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\quad(\rho<b)
c) \displaystyle \boldsymbol{E}(\rho)=\boldsymbol{0}\quad(\rho>b)
d) \displaystyle U'=\frac{\rho_{l}^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)

Exercícios relacionados