Questão 15
Uma linha de carga infinita está posicionada ao longo do eixo z e contém uma densidade linear uniforme de carga de
. Uma casca cilíndrica, perfeitamente condutora, cujo eixo coincide com o eixo
, envolve a linha de carga. O cilindro de raio
está no mesmo potencial da terra (i.e. zero volts). De acordo com essas condições, ad função potencial no interior do cilindro (
) é dada por:
em que
é um constante. Com base nestas informações determine:
a) A constante k expressa em termos dos parâmetros conhecidos (
);
b) A intensidade de campo elétrico (
), para
;
c) A intensidade de campo elétrico (
), para
;
d) A energia armazenada no campo elétrico, por unidade de comprimento, na direção z , no interior do volume definido por
, sendo
.
a) A constante k expressa em termos dos parâmetros conhecidos (
b) A intensidade de campo elétrico (
c) A intensidade de campo elétrico (
d) A energia armazenada no campo elétrico, por unidade de comprimento, na direção z , no interior do volume definido por
Passo 1
O enunciado dá uma linha de carga infinita ao longo do eixo
com densidade linear de carga
(unidade
), e um cilindro condutor coaxial, de raio
, mantido no potencial da terra (zero volts). No interior do cilindro (
) o potencial é informado como
onde
é uma constante desconhecida. As perguntas são:
a) determinar a constante em função de
e
;
b) achar a intensidade do campo elétrico para
;
c) achar a intensidade do campo elétrico para
;
d) calcular a energia armazenada no campo elétrico, por unidade de comprimento na direção , no interior do volume definido por
, com
(interpreto isto como a energia por unidade de comprimento no anel coaxial
).
a) determinar a constante
b) achar a intensidade do campo elétrico
c) achar a intensidade do campo elétrico
d) calcular a energia armazenada no campo elétrico, por unidade de comprimento na direção
Passo 2
(Determinar
usando a condição de contorno)
Explicação rápida: o cilindro condutor está aterrado, ou seja, seu potencial elétrico é no raio
. Então basta impor
na expressão do potencial para achar
. Aplicando:
Explicação rápida: o cilindro condutor está aterrado, ou seja, seu potencial elétrico é
Isolando
obtemos
Isso significa que o potencial no interior fica ancorado por essa constante para que em
tenhamos zero volts.
Passo 3
(Encontrar
para
a partir do potencial)
Relembrando a relação entre potencial e campo: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial,
Relembrando a relação entre potencial e campo: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial,
Num sistema cilíndrico com simetria azimutal e independente de
, apenas a componente radial depende de
, e
Usando
(substituímos
do Passo 2),
calculamos a derivada:
calculamos a derivada:
Portanto
Escrevendo o vetor campo na direção radial externa:
Interpretação física: para
o campo aponta para fora e decai como
, como esperado de uma linha de carga.
Passo 4
(Verificação alternativa por Lei de Gauss para
)
Breve aula: a Lei de Gauss em forma integral diz que para uma superfície cilíndrica coaxial de raio e comprimento
,
Breve aula: a Lei de Gauss em forma integral diz que para uma superfície cilíndrica coaxial de raio
Aqui
(carga da linha dentro do cilindro). O fluxo pela superfície lateral é
. Assim
o que confirma o resultado do Passo 3.
Passo 5
(Comportamento para
: por que
fora do cilindro aterrado)
Explicação passo a passo e física: dentro do metal condutor o campo elétrico tem que ser zero em equilíbrio estático. Isso obriga o surgimento de cargas induzidas na superfície interna do cilindro de modo que o campo dentro do metal seja nulo. A carga induzida total na face interna do condutor é (por comprimento
), de forma que a soma das cargas “enclausuradas” por uma superfície gaussiana de raio
é
. Além disso, sendo o cilindro aterrado, qualquer carga extra na casca pode fluir para a terra, de modo que não permanece carga líquida na casca externa. Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície cilíndrica de raio
obtemos
Explicação passo a passo e física: dentro do metal condutor o campo elétrico tem que ser zero em equilíbrio estático. Isso obriga o surgimento de cargas induzidas na superfície interna do cilindro de modo que o campo dentro do metal seja nulo. A carga induzida total na face interna do condutor é
logo
Resumo físico curto: o condutor aterrado cancela o efeito da linha de carga para fora do cilindro; portanto fora do cilindro o campo é nulo.
Passo 6
(Cálculo da energia armazenada por unidade de comprimento no anel
)
Primeiro, fórmulas úteis: a densidade de energia elétrica em um ponto é
Primeiro, fórmulas úteis: a densidade de energia elétrica em um ponto é
Queremos a energia por unidade de comprimento na direção
; ou seja, tomar um comprimento
e depois dividir por
, ou integrar usando diretamente elemento de volume por unidade de comprimento:
(já que multiplicar por
dá
). Usando
do Passo 3, temos
Logo a densidade de energia é
A energia por unidade de comprimento
no intervalo
é a integral
Substituindo
:
A integral de
é o logaritmo:
Portanto
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)