Questão 15 -

Uma partícula realiza um movimento harmônico simples. Suas velocidades são v1 e v2 quando os deslocamentos em relação à posição de equilíbrio são y1 e y2, respectivamente. O período de oscilação desse movimento vale:
a) 2 \pi \sqrt{\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}.
b) 2 \pi \sqrt{\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}}.
c) 2 \pi \sqrt{\frac{v_{2}^{2}+v_{1}^{2}}{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}}.
d) 2 \pi \sqrt{\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}.
e) \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}.

Passo 1

O enunciado fala de um movimento harmônico simples (MAS) no qual a partícula tem deslocamento y e velocidade v dados por dois estados quaisquer (y_{1},v_{1}) e (y_{2},v_{2}). Queremos encontrar o período T desse movimento em função de y_{1},y_{2},v_{1},v_{2}. Vamos usar as fórmulas gerais do MAS e a identidade trigonométrica \sin^{2}+\cos^{2}=1.

Passo 2

Num MAS de amplitude A, frequência angular \omega e fase \varphi, temos
y(t)=A\sin(\omega t+\varphi),
v(t)=\frac{dy}{dt}=A\,\omega\cos(\omega t+\varphi).
Em dois instantes quaisquer esses valores são (y_{1},v_{1}) e (y_{2},v_{2}).

Passo 3

Pela identidade \sin^{2}+\cos^{2}=1 podemos combinar os quadrados de y e v. Para cada um dos estados i=1,2 vale:
\bigl(\tfrac{v_{i}}{\omega}\bigr)^{2}+y_{i}^{2} =A^{2}\bigl(\cos^{2}+\sin^{2}\bigr) =A^{2}.
Multiplicando por \omega^{2}
v_{i}^{2}+\omega^{2}y_{i}^{2}=A^{2}\,\omega^{2}.

Passo 4

Como o lado direito A^{2}\omega^{2} é o mesmo para i=1 e i=2, igualamos
v_{1}^{2}+\omega^{2}y_{1}^{2} \;=\; v_{2}^{2}+\omega^{2}y_{2}^{2}.
Rearranjando,
\omega^{2}\,(y_{1}^{2}-y_{2}^{2}) = v_{2}^{2}-v_{1}^{2},
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\omega^{2} = \frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}.

Passo 5

O período do MAS é dado por T=2\pi/\omega. Portanto,
T = 2\pi \sqrt{\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}.

Resposta

d) 2\pi\sqrt{\dfrac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}

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