Um objeto largado de uma torrefaz 1 / 3 da distância total ao solo no último segundo de queda. A resistência do ar é desprezível.
a) Quanto tempo o objeto leva para fazer os primeiros 2 / 3 da distância total percorrida?
b) Qual a altura da torre?
c) Determine a velocidade média do objeto.
d) Com qual velocidade ele chega em 2 / 3 da altura da torre?

Passo 1

O enunciado trata da queda livre de um objeto desprezando a resistência do ar. Seja T o tempo total de queda e
H = \frac12\,g\,T^2
a altura da torre. Sabe-se que no último segundo de queda o objeto percorre \tfrac13 de H. Vamos:
  1. Determinar T usando s(T)-s(T-1)=H/3.
  2. (a) Calcular o tempo t_1 para percorrer os primeiros \tfrac23 de H.
  3. (b) Obter H.
  4. (c) Calcular a velocidade média v_{\rm m}=H/T.
  5. (d) Encontrar a velocidade em 2/3 de H, isto é, v(t_1).

Passo 2

Usamos s(t)=\tfrac12\,g\,t^2, logo
s(T)-s(T-1)=\frac12\,g\bigl(T^2-(T-1)^2\bigr)=\frac{H}{3}
Mas H=\tfrac12\,g\,T^2, então
\frac12\,g\bigl(T^2-(T-1)^2\bigr)=\frac{1}{3}\,\frac12\,g\,T^2
Simplificando g e fatores 1/2, vem
T^2-(T-1)^2=\frac{T^2}{3} \quad\Longrightarrow\quad 2T-1=\frac{T^2}{3} \quad\Longrightarrow\quad T-\tfrac12=\frac{T^2}{6}\,.

Passo 3

Reescrevendo em forma de equação do segundo grau:
T^2-6T+3=0.
A solução é
T=\frac{6\pm\sqrt{36-12}}{2}=3\pm\sqrt6.
Como T>1, tomamos
T=3+\sqrt6\quad\text{(s)}.

Passo 4

(a) Para achar t_1 tal que s(t_1)=\tfrac23\,H, usamos
\frac12\,g\,t_1^2=\frac23\;\frac12\,g\,T^2 \quad\Longrightarrow\quad t_1^2=\frac23\,T^2 \quad\Longrightarrow\quad t_1=T\sqrt{\tfrac23}.
Como \sqrt{\tfrac23}=\tfrac{\sqrt6}{3}, fica
t_1=(3+\sqrt6)\,\frac{\sqrt6}{3}=2+\sqrt6\quad\text{(s)}.

Passo 5

(b) A altura da torre é
H=\frac12\,g\,T^2 =\frac12\,g\,(3+\sqrt6)^2 =\frac12\,g\,(9+6+6\sqrt6) =\frac{15+6\sqrt6}{2}\,g\quad\text{(m)}.

Passo 6

(c) A velocidade média é
v_{\rm m}=\frac{H}{T} =\frac{\tfrac12\,g\,T^2}{T} =\frac12\,g\,T =\frac{3+\sqrt6}{2}\,g\quad\text{(m/s)}.

Passo 7

(d) A velocidade ao tempo t_1 é
v(t_1)=g\,t_1 =g\,(2+\sqrt6)\quad\text{(m/s)}.

Resposta

a) t_1=2+\sqrt6 s
b) H=\displaystyle\frac{15+6\sqrt6}{2}\,g m
c) v_{\rm m}=\displaystyle\frac{3+\sqrt6}{2}\,g m/s
d) v(t_1)=g\,(2+\sqrt6) m/s

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