Questão 15. Seja A domínio A. Diremos que A é de característica 0 se \underbrace{a+\cdots+a}_{m-\text { vezes }}=m a=0, com a \in A \backslash\{0\} e m \in \mathbb{N}, então m=0. Diremos que A tem característica finita quando para cada a \in A \backslash\{0\} existe m \in \mathbb{N} tal que m a=0. Neste caso, definimos a característica de A como sendo o menos natural tal que m a=0 para todo a \in A \backslash\{0\}. Prove que a característica de um domínio é 0 ou p número primo.

Passo 1

O enunciado fala de um anel comutativo A sem divisores de zero (um domínio) e define sua característica como o menor n\in\mathbb{N} tal que
n\cdot a = \underbrace{a + \cdots + a}_{n\text{ vezes}} = 0
para todo a\neq0, ou então característica zero se não existir tal n>0. Vamos provar que, em um domínio, essa característica só pode ser 0 ou um número primo.

Passo 2

Se não existe inteiro positivo n com
n\cdot 1_A = 0,
então a característica é zero e já terminamos. Caso contrário, chamemos de n o menor inteiro positivo tal que
n\cdot 1_A = 0.

Passo 3

Pela minimalidade de n, para todo 1 \le m < n temos
m\cdot 1_A \neq 0.

Passo 4

Suponha, por contradição, que n não seja primo. Então existem r,s\in\mathbb{N} tais que
1<r<n,\quad 1<s<n,\quad r\,s = n.

Passo 5

Considere os elementos r\cdot 1_A e s\cdot 1_A em A. Temos
(r\cdot 1_A)\,(s\cdot 1_A) = (r\,s)\cdot 1_A = n\cdot 1_A = 0.
Porém, como 1<r<n e 1<s<n, a minimalidade de n garante que
r\cdot 1_A \neq 0 \quad\text{e}\quad s\cdot 1_A \neq 0.
Logo r\cdot 1_A e s\cdot 1_A são divisor(es) de zero, o que contradiz o fato de A ser domínio.

Resposta

A característica de um domínio A é 0 ou um número primo p.

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